Minor: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
AndrzeiBOT (dyskusja | edycje)
m Różne zmiany redakcyjne – poprawa linków, apostrofy, cudzysłowy itp.
Linia 4:
 
== Przykład ==
Niech dana będzie macierz
: <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}</math>
 
typu <math>3 \times 4</math> nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]].
 
''Wykreślając'' drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru <math>I = \{1, 3\}</math> oraz kolumn o indeksach ze zbioru <math>J = \{1,4\}</math> otrzymuje się minor równy
: <math>\begin{vmatrix} 1 & \Box & \Box & 2 \\ \Box & \Box & \Box & \Box \\ 7 & \Box & \Box & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = -10.</math>.
 
Powyższy minor nie jest główny, ponieważ <math>I \ne J.</math>. Minorem głównym macierzy <math>A</math> jest na przykład minor
: <math>\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 8</math>
 
utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach <math>2</math> oraz <math>3.</math>.
 
Wiodącymi minorami głównymi macierzy <math>A</math> po kolei rosnącym porządku stopni:
: <math>\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -55.</math>.
 
== Definicja ==
Dla danej macierzy <math>A</math> typu <math>m \times n</math> '''minorem''' ''stopnia'' <math>k,</math>, gdzie <math>k \leqslant \min(m, n)</math> nazywa się [[wyznacznik]] [[macierz]]y kwadratowej stopnia <math>k</math> otrzymanej z macierzy <math>A</math> poprzez ''wykreślenie'' <math>m-k</math> wierszy i <math>n-k</math> kolumn.
 
Ściślej operacja ''wykreślania'' polega na wskazaniu pewnego [[Podciąg (matematyka)|podciągu]] indeksów <math>I</math> wierszy o długości <math>k</math> oraz podciągu indeksów <math>J</math> kolumn o długości <math>k</math> z [[dziedzina|dziedziny]] macierzy, czyli [[iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]] <math>\{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\}.</math>. Tak wybrany zbiór indeksów <math>I = \{i_1, \dots, i_k\} \times \{j_1, \dots, j_k\}</math> służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy <math>A(I \times J).</math>.
 
Jeżeli <math>I = J</math> mają po <math>k</math> elementów, co oznacza, iż ''wykreślono'' wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich <math>k</math> w obu przypadkach, to taki minor nazywa się '''minorem głównym''' stopnia <math>k.</math>. Minor główny stopnia <math>k,</math>, z którego ''wykreślono'' ostatnie <math>m-k</math> wierszy i <math>n-k</math> kolumn, a więc tak, by <math>I = J = \{1, 2, \dots, k\},</math>, nazywa się '''wiodącym minorem głównym''' stopnia <math>k.</math>.
 
Niekiedy ''minorami głównymi'' nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.
 
Niekiedy minory macierzy oznacza się:
<math>(A_i),</math> , <math>(A^a),</math> ,
<math>(A_iA_j) = -(A_jA_i),</math> , <math>(A^aA^b) = -(A^bA^a),</math> ,
<math>(A_iA_jA_k),</math> , <math>(A^aA^bA^c),</math> , itd. , gdzie <math>(A_i)</math> są kolumnami, <math>(A^a)</math> wierszami macierzy <math>(A^a_i),</math> , a <math>(A_iA_j)</math> jest [[iloczyn mieszany|iloczynem mieszanym]].
 
== Własności ==
* Z definicji (własności) [[wyznacznik]]a wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie <math>1, 1.</math>.
* Z definicji (własności) [[rządRząd (algebra liniowa)macierzy|rzędu]] macierzy wynika, że dla macierzy rzędu <math>r > 0</math> nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia <math>r,</math>, zaś każdy minor stopnia wyższego od <math>r</math> tej macierzy jest równy zeru (a więc [[rząd macierzy]] jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
* [[Kryterium Sylvestera]]: [[sprzężenieSprzężenie hermitowskie macierzy|macierz hermitowska]] (w przypadku [[liczby zespolone|zespolonym]]; w przypadku [[liczby rzeczywiste|rzeczywistym]]: [[macierz symetryczna|symetryczna]]) <math>A</math> jest
** [[macierzOkreśloność dodatnio określonaformy|dodatnio określona]] wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
** [[macierzOkreśloność dodatnio określonaformy|ujemnie określona]] wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
* Dla danej macierzy <math>m \times n</math> można wybrać <math>\tbinom{n}{k}\tbinom{m}{k}</math> minorów stopnia <math>k</math> (gdzie <math>\tbinom{\cdot}{\cdot}</math> oznacza [[symbol Newtona]]).
* Macierz typu <math>m \times n</math> ma <math>\min(m, n)</math> wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia <math>n</math> ma ich dokładnie <math>n.</math>.
 
== Zobacz też ==
* [[rozwinięcie Laplace’a]]
* [[dopełnienie algebraiczne]]
* [[rozwinięcie Laplace’a]]
 
[[Kategoria:Algebra liniowa]]