Grupa cykliczna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
drobne redakcyjne |
||
Linia 1:
[[Plik:Cyclic group.svg|thumb|[[Pierwiastek z jedynki|Pierwiastki szóstego stopnia z jedynki]] tworzą grupę cykliczną z mnożeniem, gdzie ''z'' jest generatorem grupy.]]
'''Grupa cykliczna''' – [[grupa (matematyka)|grupa]] [[zbiór generatorów grupy|generowana]] przez pojedynczy element nazywany jej ''generatorem''<ref name="nr1">Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cyclic group", ''Encyclopedia of Mathematics'', Springer, {{ISBN|978-1-55608-010-4}}</ref> (grupa cykliczna może mieć wiele generatorów, ale każdy z nich samodzielnie generuje tę grupę). Oznacza to, że
Grupę cykliczną <math>G</math>
: <math>\langle a\rangle := \{a^n\in G\colon n\in \mathbb Z\},</math>
gdzie <math>a</math> jest generatorem grupy <math>G.</math> W szczególności może się zdarzyć, iż <math>a^n</math> będzie dla pewnego <math>n \in \mathbb Z</math> równe [[element neutralny|elementowi neutralnemu]] <math>e</math> – w tym wypadku grupa zawiera skończenie wiele elementów; jeżeli taka sytuacja nie zachodzi, to grupa ma nieskończenie wiele (dokładnie: [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wiele]]) elementów. Najmniejszą grupą cykliczną jest [[grupa trywialna]] zawierająca tylko jeden element; najmniejszą grupą niecykliczną jest [[grupa czwórkowa Kleina|grupa Kleina]] (nazywana również „czwórkową”) [[rząd (teoria grup)|rzędu]] <math>4.</math>
|