Grupa cykliczna: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Paweł Ziemian BOT (dyskusja | edycje)
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy
drobne redakcyjne
Linia 1:
[[Plik:Cyclic group.svg|thumb|[[Pierwiastek z jedynki|Pierwiastki szóstego stopnia z jedynki]] tworzą grupę cykliczną z mnożeniem, gdzie ''z'' jest generatorem grupy.]]
'''Grupa cykliczna''' – [[grupa (matematyka)|grupa]] [[zbiór generatorów grupy|generowana]] przez pojedynczy element nazywany jej ''generatorem''<ref name="nr1">Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cyclic group", ''Encyclopedia of Mathematics'', Springer, {{ISBN|978-1-55608-010-4}}</ref> (grupa cykliczna może mieć wiele generatorów, ale każdy z nich samodzielnie generuje tę grupę). Oznacza to, że dowolny element tej grupy można uzyskać przezpoprzez iterowanie (wielokrotne złożenie) działania grupowego na generatorze lub jego odwrotności można uzyskać dowolny element tej grupy; w [[grupa (matematyka)#Konwencje|notacji multiplikatywnej]] elementy są więc potęgami generatora, a w [[grupa (matematyka)#Konwencje|notacji addytywnej]] – jego wielokrotnościami.
 
Grupę cykliczną <math>G</math> możnadaje się zatem przedstawić jako
: <math>\langle a\rangle := \{a^n\in G\colon n\in \mathbb Z\},</math>
gdzie <math>a</math> jest generatorem grupy <math>G.</math> W szczególności może się zdarzyć, iż <math>a^n</math> będzie dla pewnego <math>n \in \mathbb Z</math> równe [[element neutralny|elementowi neutralnemu]] <math>e</math> – w tym wypadku grupa zawiera skończenie wiele elementów; jeżeli taka sytuacja nie zachodzi, to grupa ma nieskończenie wiele (dokładnie: [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wiele]]) elementów. Najmniejszą grupą cykliczną jest [[grupa trywialna]] zawierająca tylko jeden element; najmniejszą grupą niecykliczną jest [[grupa czwórkowa Kleina|grupa Kleina]] (nazywana również „czwórkową”) [[rząd (teoria grup)|rzędu]] <math>4.</math>