Dyskretyzacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

lit.
(szablon zbędny w głównej przestrzeni)
(lit.)
:<math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>
:<math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[ e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau</math>
Wyrażenie w nawiasie można zapisać jako <math>\mathbf x[k]</math> a drugie wyrażenie można uprościć przez podstawienie <math>v = kT + T - \tau</math>. Ponadto można przyjąć, że <math>\mathbf u</math> jest stałe podczas całkowania, co z koleiikolei daje:
:<math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k]=e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-I \right) \mathbf B\mathbf u[k]</math>
co stanowi dokładne rozwiązanie dyskretyzowanego problemu.