Wersja z 22:18, 2 lut 2018 edytuj Tomasz Gajdek (dyskusja \| edycje) 91 edycji Nie podano opisu zmian Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 18:09, 11 paź 2018 edytuj anuluj edycję Qwebeck (dyskusja \| edycje) 1 edycja Nie podano opisu zmian Znacznik: VisualEditor następna edycja →
Linia 3: '''Kres (kraniec) dolny''', '''infimum''' ({{łac.\|infimus}} „najniższy”) oraz '''kres (kraniec) górny''', '''supremum''' ({{łac.\|supremus}} „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ''ograniczeń dolnych'' oraz najmniejsze z ''ograniczeń górnych'' danego [[zbiór\|zbioru]], o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych [[częściowy porządek\|zbiorach częściowo uporządkowanych]], najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów [[liczby rzeczywiste\|liczbowych]]. == Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych == === Definicje === Niech <math>A\subseteq \mathbb R</math> będzie [[zbiór pusty\|niepustym podzbiorem]]. '''Ograniczeniem górnym (majorantą)''' zbioru <math>A</math> nazywamy liczbę <math>s\in \mathbb R</math> spełniającą: :<math>s \geqslant a\; </math> dla wszystkich elementów <math>a \in A</math>. Linia 14 ⟶ 15: '''Kresem górnym''' zbioru <math>A</math> nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę <math>s \in \mathbb R</math> spełniającą: * <math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>; <math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>; jeśli <math>s' \in \mathbb R</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>, to <math>s \leqslant s'\;</math>. Analogicznie '''kresem dolnym''' zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru. Linia 22 ⟶ 25: Zapisy <math>\inf(A) = -\infty</math> oraz <math>\sup(A) = \infty</math> oznaczają, że <math>A</math> jest [[zbiór ograniczony\|nieograniczony]] odpowiednio z dołu lub z góry (zob. [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych]]). === Własności === * Każdy niepusty podzbiór <math>\mathbb R</math> ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się [[Porządek zupełny\|zupełnością zbioru]] liczb rzeczywistych (zob. [[aksjomat ciągłości]]). * Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym. * Przypuśćmy że <math>A\subseteq \mathbb R</math> jest niepustym zbiorem oraz <math>s \in \mathbb R</math>, wówczas :Przypuśćmy że <math>A\subseteq \mathbb R</math> jest niepustym zbiorem oraz <math>s \in \mathbb R</math>, wówczas :<math>s = \sup(A)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\forall_{a \in A}\; a \leqslant s</math> oraz <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon</math>; : <math>s = \inf(A)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\forall_{a \in A}\; a \geqslant s</math> oraz <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a ~~< s~~ + \varepsilon \geq s </math>. Jeżeli <math>A \subseteq \mathbb R</math> oraz oznaczymy <math>-A := \{x \in \mathbb R\colon -x \in A\}</math>, to: : <math>\inf(-A) = -\sup(A)</math>, : <math>\sup(-A) = -\inf(A)</math>. === Przykłady ===▼ * Niech <math>A=[0, 3]</math>. Wówczas:▼ :: <math>\inf(A)=0</math>, ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.▼ :: <math>\sup(A)=3</math>, ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.▼ * Niech <math>B=(0, 3)</math>. Wówczas:▼ :: <math>\inf(B)=0</math>, bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.▼ :: <math>\sup(B)=3</math>, bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.▼ * Niech <math>C=\{0, 1, 3\}</math>. Wówczas podobnie jak dla zbioru <math>A</math>, <math>\inf(C)=0</math> oraz <math>\sup(C)=3</math>.▼ * Niech <math>D=\{\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \tfrac45, \tfrac56, \ldots\}</math>. Wówczas:▼ ▲=== Przykłady === ▲* Niech <math>A=[0, 3]</math>. Wówczas: ▲:: <math>\inf(A)=0</math>, ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A. ▲:: <math>\sup(A)=3</math>, ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A. ▲* Niech <math>B=(0, 3)</math>. Wówczas: ▲:: <math>\inf(B)=0</math>, bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest. ▲:: <math>\sup(B)=3</math>, bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest. ▲* Niech <math>C=\{0, 1, 3\}</math>. Wówczas podobnie jak dla zbioru <math>A</math>, <math>\inf(C)=0</math> oraz <math>\sup(C)=3</math>. ▲* Niech <math>D=\{\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \tfrac45, \tfrac56, \ldots\}</math>. Wówczas: ::<math>\sup(D)=1</math>, gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest. * Niech <math>E=\emptyset</math>. Wówczas:▼ :: <math>\inf(E)=\infty,\quad \sup(E)=-\infty</math>,  bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym jak i górnym zbioru ''E''.▼ ▲* Niech <math>E=\emptyset</math>. Wówczas: == Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych ==▼ ▲:: <math>\inf(E)=\infty,\quad \sup(E)=-\infty</math>,  bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym jak i górnym zbioru ''E''. ▲== Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych == Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach. === Definicje === Niech <math>(X,\sqsubseteq)</math> będzie [[częściowy porządek\|zbiorem częściowo uporządkowanym]] i niech <math>A\subseteq X</math>. Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione: Element <math>s\in X\,</math> nazywamy '''ograniczeniem górnym (majorantą)''' zbioru <math>A</math>, jeśli: :<math>\forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s</math>. Element <math>s\in X\,</math> nazywamy '''ograniczeniem dolnym (minorantą)''' zbioru <math>A</math>, jeśli: :<math>\forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a</math>. Element <math>s\in X\,</math> jest '''kresem górnym''' ('''supremum''') zbioru <math>A\,</math>, jeśli <math>s\,</math> jest [[Elementy najmniejszy i największy\|elementem najmniejszym]] w zbiorze wszystkich ''ograniczeń górnych'' <math>A\,</math>, tzn. ~~: <math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>;~~ :<math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>; :jeśli <math>s' \in X</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A</math>, to <math>s \sqsubseteq s'\;</math>. Element <math>s\in X\,</math> jest '''kresem dolnym''' ('''infimum''') zbioru <math>A\,</math>, jeśli <math>s\,</math> jest [[Elementy najmniejszy i największy\|elementem największym]] w zbiorze wszystkich ''ograniczeń dolnych'' <math>A\,</math>, tzn. ~~: <math>s</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A</math>;~~ :<math>s</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A</math>; :jeśli <math>s' \in X</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A</math>, to <math>s' \sqsubseteq s\;</math>. Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór <math>X</math> ma kres górny, to porządek <math>(X,\sqsubseteq)</math> nazywa się [[Porządek zupełny\|zupełnym]]. ===Własności=== Każdy element zbioru <math>X</math> jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru <math>X</math>, a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru <math>X</math> (o ile takie istnieją w zbiorze <math>X</math> ). Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia <math>\inf(A)</math> i <math>\sup(A)</math> odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru <math>A</math> są jednoznaczne. * Jeśli <math>(X,\sqsubseteq)</math> jest [[Porządek liniowy\|porządkiem liniowym]], to istnieje zupełny porządek liniowy <math>(Y,\leqslant)</math> taki że <math>X\subseteq Y</math> i obcięcie <math>\leqslant \upharpoonright X</math> zgadza się z <math>\sqsubseteq</math>, oraz <math>X</math> jest gęstym podzbiorem <math>Y</math>. Porządek <math>(Y,\leqslant)</math> jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu. * Jeśli <math>(X,\sqsubseteq)</math> jest zupełnym [[Porządek liniowy\|porządkiem liniowym]] (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór <math>X</math> ma [[kres górny]]), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór <math>X</math> ma kres dolny. === Przykłady ===▼ * Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór [[liczby wymierne\|liczb wymiernych]] <math>{\mathbb Q}</math> z porządkiem naturalnym i zbiór <math>A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}</math>, to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. <br />Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać <math>(-\sqrt 2,\sqrt 2)</math> i ma oba kresy.▼ * Niech <math>X=(1,2)\cup(3,4)</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu górnego, bowiem <math>(3,4)</math> jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru <math>(1,2)</math>, ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór <math>(3,4)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu dolnego.▼ * Niech <math>X=(1,2]\cup(3,4]</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres górny <math>2</math>, podzbiór <math>(3,4]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres dolny <math>2</math>.▼ * Niech <math>({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1)</math> będzie [[algebra Boole’a\|algebrą Boole’a]] i niech <math>\leqslant</math> będzie porządkiem boole'owskim na <math>{\mathbb B}</math> (tzn. dla <math>a\leqslant b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a\cdot b=a</math>).▼ Kres górny niepustego zbioru <math>A\subseteq {\mathbb B}</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\sum A</math> i bywa nazywany ''sumą zbioru <math>A</math>''. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski <math>\leqslant</math> jest zupełny) są nazywane [[Algebra Boole’a#Zupe.C5.82ne algebry Boole.27a\|zupełnymi algebrami Boole’a]]. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii [[forsing]]u.▼ Kres dolny niepustego zbioru <math>A\subseteq {\mathbb B}</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\prod A</math> i bywa nazywany ''produktem (iloczynem) zbioru <math>A</math>''. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a <math>{\mathbb B}</math>:▼ : każdy niepusty podzbiór <math>{\mathbb B}</math> ma kres górny (tzn sumę),▼ : każdy niepusty podzbiór <math>{\mathbb B}</math> ma kres dolny (tzn produkt).▼ Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. [[Algebra Boole’a#Zupełne algebry Boole’a\|zupełność algebry]]), jeśli <math>\varnothing \neq A \subseteq \mathbb B</math>, to ▼ : <math>\sum A=\sim\prod\{\sim a\colon a\in A\}</math> oraz <math>\prod A=\sim\sum\{\sim a\colon a\in A\}.</math>▼ ==Zobacz też== * [[Elementy minimalny i maksymalny]]▼ ▲=== Przykłady === * [[Elementy najmniejszy i największy]]▼ ▲* Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór [[liczby wymierne\|liczb wymiernych]] <math>{\mathbb Q}</math> z porządkiem naturalnym i zbiór <math>A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}</math>, to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. <br />Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać <math>(-\sqrt 2,\sqrt 2)</math> i ma oba kresy. ▲* Niech <math>X=(1,2)\cup(3,4)</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu górnego, bowiem <math>(3,4)</math> jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru <math>(1,2)</math>, ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór <math>(3,4)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu dolnego. ▲* Niech <math>X=(1,2]\cup(3,4]</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres górny <math>2</math>, podzbiór <math>(3,4]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres dolny <math>2</math>. ▲* Niech <math>({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1)</math> będzie [[algebra Boole’a\|algebrą Boole’a]] i niech <math>\leqslant</math> będzie porządkiem boole'owskim na <math>{\mathbb B}</math> (tzn. dla <math>a\leqslant b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a\cdot b=a</math>). ▲ Kres górny niepustego zbioru <math>A\subseteq {\mathbb B}</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\sum A</math> i bywa nazywany ''sumą zbioru <math>A</math>''. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski <math>\leqslant</math> jest zupełny) są nazywane [[Algebra Boole’a#Zupe.C5.82ne algebry Boole.27a\|zupełnymi algebrami Boole’a]]. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii [[forsing]]u. ▲ Kres dolny niepustego zbioru <math>A\subseteq {\mathbb B}</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\prod A</math> i bywa nazywany ''produktem (iloczynem) zbioru <math>A</math>''. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a <math>{\mathbb B}</math>: ▲: każdy niepusty podzbiór <math>{\mathbb B}</math> ma kres górny (tzn sumę), ▲: każdy niepusty podzbiór <math>{\mathbb B}</math> ma kres dolny (tzn produkt). ▲ Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. [[Algebra Boole’a#Zupełne algebry Boole’a\|zupełność algebry]]), jeśli <math>\varnothing \neq A \subseteq \mathbb B</math>, to ▲: <math>\sum A=\sim\prod\{\sim a\colon a\in A\}</math> oraz <math>\prod A=\sim\sum\{\sim a\colon a\in A\}.</math> == ~~Zobacz też~~ Bibliografia== ▲* [[Elementy minimalny i maksymalny]] ▲* [[Elementy najmniejszy i największy]] {{Cytuj książkę \| nazwisko = Rasiowa \| imię = Helena \| tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej \| wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe \| miejsce = Warszawa \| data = 1975 \| seria = Biblioteka Matematyczna \| strony = 112-122 \|}} ▼ ~~== Bibliografia ==~~ ▲{{Cytuj książkę \| nazwisko = Rasiowa \| imię = Helena \| tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej \| wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe \| miejsce = Warszawa \| data = 1975 \| seria = Biblioteka Matematyczna \| strony = 112-122 \|}} *{{Cytuj książkę \| nazwisko = Wojciechowska \| imię = Agnieszka \| tytuł = Elementy logiki i teorii mnogości \| wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe \| miejsce = Warszawa \| data = 1979 \| strony = 59-61 \| isbn = 83-01-00756-7}}

Kresy dolny i górny: Różnice pomiędzy wersjami