Mnożenie przez skalar: Różnice pomiędzy wersjami

'''Mnożenie przez skalar''' −– jedno z [[działanie dwuargumentowe|działań dwuargumentowych]] definiujących [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] w [[algebra liniowa|algebrze liniowej]] (lub ogólniej: [[moduł (matematyka)|moduł]] w [[algebra|algebrze ogólnej]]). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]] (nazywanym niekiedy [[przestrzeń unitarna|iloczynem wewnętrznym]]) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.

Intuicją geometryczną stojącą za tym działaniem jest mnożenie [[wektor]]a [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] przez dodatnią liczbę rzeczywistą, które polega na pomnożeniu długości tego wektora przez tę liczbę. Słowo „[[skalar (matematyka)|skalar]]”<ref>[[łacina|łacŁac.]] ''scalar'', od późnołac. ''scala'', „schody, drabina”, od łac. ''scalae'', l.mn. „schody, szczeble, drabina”; spokr. z łac. ''scandere'', „wspinać się” i dalej ze [[język średnioirlandzki|średnioirl.]] ''sceinnid'', „wyskakuje” oraz [[sanskryt|sans.]] ''skandati'', „skacze”.</ref> urobiono od czynności: ''skalar'' służy do ''skalowania'', czyli „rozciągania” czy „ściskania” (tzn. [[jednokładność|jednokładnościowego]] przekształcania wektorów o [[wartość bezwzględna|wartość bezwzględną]] skalara z zachowaniem zwrotu, tzn. porządku, gdy jest on dodatni i odwróceniu w przeciwnym przypadku). W ogólności jednak interpretacja ta może być zwodnicza, np. w [[ciało skończone|ciałach skończonych]], które nie są [[ciało uporządkowane|uporządkowane liniowo]] (przez brak porządku w ciele nie można mówić o „powiększaniu” lub „zmniejszaniu” długości wektorów).

Niech <math> V</math> będzie przestrzenią liniową nad ciałem <math> K;</math> elementy przestrzeni nazywane będą ''[[wektor]]ami'' (i oznaczane pismem pogrubionym), a elementy ciała nazywane będą ''[[skalar (matematyka)|skalarami]]'' (i oznaczane pismem pochyłym). Działanie '''mnożenia''' wektora z <math> V</math> '''przez skalar''' z <math> K</math> definiuje się jako [[funkcja|funkcję]] <math> K \times V \to V,</math> która przekształca [[para uporządkowana|parę]] skalar-wektor <math> (c, \mathbf v)</math> w wektor <math> c \mathbf v</math> zgodnie z poniższymi [[aksjomat]]ami:

* zgodność z elementem neutralnym <math> 1</math> mnożenia z ciała („zachowanie zwrotu”),

* zgodność elementów neutralnych ciała <math> 0</math> i przestrzeni liniowej <math> \mathbf 0</math> (zob. [[wektor zerowy]]),

W szczególnym przypadku za <math> V</math> można wziąć samo <math> K</math> i przyjąć jako mnożenie przez skalar mnożenie z ciała. Jeśli <math> V</math> jest [[przestrzeń współrzędnych|przestrzenią współrzędnych]] <math> K^n,</math> to mnożenie przez skalar jest [[działanie określone punktowo#Działanie określone po współrzędnych/składowych|określone po współrzędnych]]. [[Macierz]]e ustalonego typu tworzą przestrzeń liniową z ich dodawaniem i mnożeniem przez skalar, zob. [[mnożenie macierzy#Mnożenie przez skalar|mnożenie macierzy przez skalar]]. Jeśli <math> K</math> oznacza ciało [[liczby zespolone|liczb zespolonych]], to mnożenie przez skalar jest złożeniem [[jednokładność|jednokładności]] o współczynniku równym [[wartość bezwzględna#Liczby zespolone|modułowi]] i [[obrót|obrotu]] wektora o [[kąt]] równy [[argument liczby zespolonej|argumentowi]] tego skalara (zob. [[płaszczyzna zespolona]]).

W ogólności mnożenie przez skalar można postrzegać jako [[działanie algebraiczne|zewnętrzne]] [[działanie dwuargumentowe]] lub [[działanie grupy na zbiorze|działanie]] ciała na przestrzeni liniowej. Wychodząc z tego punktu widzenia można uogólnić ideę skalowania: jeśli <math> K</math> jest [[pierścień przemienny|pierścieniem przemiennym]]; wówczas konstrukcję <math> V</math> analogiczną do przestrzeni liniowej nazywa się ''[[moduł (matematyka)|modułem]]'' nad <math> K.</math> Założenia dotyczące struktury na zbiorze skalarów można dalej osłabiać: <math> K</math> może być [[półpierścień|półpierścieniem]] (przemiennym), lecz wtedy nie można mówić o elementach przeciwnych; jeśli <math> K</math> jest strukturą [[przemienność|nieprzemienną]], to należy zwracać uwagę na kolejność mnożonych elementów.