Rozmaitość pseudoriemannowska: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Opisano dokładniej rozmaitość Lorentzowską: przestrzeń styczna, pseudonorma wektorów. |
Uzupełniono informację nt. pseudometryki. |
||
Linia 34:
: (c) tensor metryczny ma sygnaturę <math>(p, q)</math>, przy czym w ogólności <math>p>0</math>oraz <math>q>0</math>
Tensor metryczny definiowany za pomocą powyższego elementu liniowego jest więc '''symetryczny, gładki''' w każdym punkcie <math>x</math> rozmaitości, '''niezdegenerowany,''' ale w ogólności jest '''[[Określoność formy|nieokreślony]].''' Oznacza to, że wielkość elementu linowego <math>ds^2(x)\, </math>w ogólnym przypadku może też liczbą ujemną. W takich przypadkach miara odległości przypisywana punktom rozmaitości nie jest to metryką, ale [[Przestrzeń pseudometryczna|pseudometryką]], gdyż dla punktów nieidentycznych może przyjmować wartości zerowe. Jest tak np. dla zdarzeń czasoprzestrzennych, związanych z poruszaniem się światła, opisywanych przez [[Szczególna teoria względności|szczególną teorię względności]] i [[Ogólna teoria względności|ogólną teorię względności]], dla których odległość w czasoprzestrzeni zawsze jest równa zeru.
Rozmaitość <math>M\, </math>w ogólnym przypadku '''nie jest przestrzenią wektorową''', dlatego jej punktów nie można np. odejmować
== Wektory na rozmaitości ==
Na wektorach określonych w przestrzeniach stycznych można wykonywać zwykłe operacje jak dodawanie, mnożenie przez skalar, czy obliczanie długości. Długości wektorów nie określa jednak [[Przestrzeń unormowana|norma]], jak to jest w przestrzeniach euklidesowych (która jest liczbą nieujemną), ale tzw. [[Przestrzeń unormowana#Pseudonorma. Przestrzeń pseudounormowana|pseudonorma]], która przyjmuje wartości dodatnie, zerowe (tzw. wektory zerowe) oraz ujemne.
== Metryka w przestrzeni pseudoriemannowskiej ==
Powierzchnia [[Hiperboloida|hiperboloidy obrotowej]] czy też 4-wymiarowa [[czasoprzestrzeń]] opisywana w [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości pseudoriemannowskie.
Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. przestrzeń euklidesowa. Podstawową rolę gra tu [[tensor metryczny]].
Niech <math>M\,</math>będzie rozmaitością wymiaru <math>n</math> i niech dany będzie układ [[Współrzędne krzywoliniowe|współrzędnych krzywoliniowych]], tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe <math>\bold x =(x^1,\dots, x^n)</math>.
=== Odległość infinitezymalna ===
Tensor metryczny definiuje '''infinitezymalne odległości''' między punktami: długość wektora <math>d\bold {x}= (dx^1,\dots, dx^n)</math> łączącego punkt <math>\bold x </math> z infinitezymalnie odległym punktem <math>\bold y=\bold x + d\bold x</math> zadana jest wzorem
: <math>|d\bold {x}|
=
\sqrt{\Bigg| \sum_{i,j=1}^{n} g_{ij}(\bold x) dx^i dx^j \Bigg|}</math>
gdzie:
: <math> g_{ij}(\bold x), i,j=1,\dots,n</math>
- współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia <math> \bold x</math>)
=== Odległość dowolnych punktów ===
Dla punktów <math>\bold {x,y}</math> rozmaitości <math>M </math> dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych <math>\gamma</math>ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty <math>\bold {x,y}</math>, czyli
: <math>d(\bold {x,y}) = \inf \,\{ \,L(\gamma), {\gamma } \in M\, ,\gamma(a) = \bold {x}, \gamma(b) = \bold {y} \} </math>
gdzie:
:* <math> \inf \,\{...\} </math>= [[Kresy dolny i górny|infimum]] = kres dolny zbioru
:* <math>L(\gamma)
=
\int\limits_a^b \sqrt{
\Bigg|
\sum_{i,j=1}^{n}
g_{ij}(\gamma(t)){d\gamma^i(t)\over dt}{d\gamma^j(t)\over dt}\Bigg|}\,dt \,\,\,
</math>- długość krzywej <math>\gamma</math>
przy czym krzywa <math>\gamma</math> dana jest przez <math>n\,</math>równań parametrycznych
: <math>\gamma(t)=[\gamma^1(t), \dots, \gamma^n(t)]</math>, <math>\,\,\, t\in \langle a,b\rangle</math>
oraz
: <math>\gamma(a) = \bold {x}, \,\,\gamma(b) = \bold {y} </math>
Dla przestrzeni riemannowskich (np. sfera) i pseudoriemannowskich (np. [[pseudosfera]]) odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej [[Linia geodezyjna|geodezyjnej]]. (W przypadku sfery będzie to łuk koła wielkiego, łączącego dwa dane punkty). Czasoprzestrzeń jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską. Odległość w przestrzeniach pseudoriemannowskich może być zerowa. Np. w czasoprzestrzeni jest tak dla punktów - tzw. zdarzeń czasoprzestrzennych - które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.
[[Tensor krzywizny Riemanna|Tensor krzywizny]] jest na ogół niediagonalny w poszczególnych punktach przestrzeni, co oznacza, że geometria na rozmaitości jest nieeuklidesowa.▼
== Rozmaitość pseudoeuklidesowa ==
Linia 61 ⟶ 110:
== Rozmaitość Lorentzowska 4-wymiarowa ==
Rozmaitość Lorentzowska 4-wymiarowa służy do modelowania czasoprzestrzeni w [[ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]], gdzie wymiar czasowy ma przeciwny znak do wymiarów przestrzennych. Różnica w znakach wynika z niezmienniczości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia. Zmiana tensora metrycznego czasoprzestrzeni, prowadząca do jej zakrzywienia, powstaje na skutek obecności materii (patrz: [[Równanie Einsteina|równania Einsteina]]).
=== Element liniowy ===
Linia 74 ⟶ 123:
:<math>ds^2(x) = -(dx^{0})^2 \,\,+ (dx^{1})^2 \,\,+ (dx^{2})^2 \,\,+ (dx^{3})^2 </math>
tj. tensor metryczny ma sygnaturę (1,3) lub (3,1).
▲=== Tensor krzywizny ===
▲[[Tensor krzywizny Riemanna|Tensor krzywizny]] jest na ogół niediagonalny w poszczególnych punktach przestrzeni, co oznacza, że geometria na rozmaitości jest nieeuklidesowa.
▲=== Przestrzeń styczna ===
▲Rozmaitość <math>M\, </math>w ogólnym przypadku nie jest przestrzenią wektorową, dlatego jej punktów nie można np. odejmować, różniczkować, itp. tak jak to wykonuje się na wektorach. Aby zdefiniować wektory w rozmaitości postępuje się następująco: w każdym punkcie <math>x\, </math>rozmaitości definiuje się [[Przestrzeń styczna|przestrzeń styczną]] <math>T_xM </math>, utworzoną z wektorów stycznych do rozmaitości, która już jest przestrzenią wektorową. Tu definiuje się wektory zaczepione do punktu <math>x\, </math>.
===
Wektory te w czasoprzestrzeni nazywa się [[Czterowektor|czterowektorami]]. Długości czterowektorów
== Czasoprzestrzeń Minkowskiego ==
| |||