Rozmaitość pseudoriemannowska: Różnice pomiędzy wersjami

Tensor metryczny definiowany za pomocą powyższego elementu liniowego jest więc '''symetryczny, gładki''' w każdym punkcie <math>x</math> rozmaitości, '''niezdegenerowany,''' ale w ogólności jest '''[[Określoność formy|nieokreślony]].''' Oznacza to, że wielkość elementu linowego <math>ds^2(x)\, </math>w ogólnym przypadku może też liczbą ujemną. W takich przypadkach miara odległości przypisywana punktom rozmaitości nie jest to metryką, ale [[Przestrzeń pseudometryczna|pseudometryką]], gdyż dla punktów nieidentycznych może przyjmować wartości zerowe.

Jest tak np. dla zdarzeń czasoprzestrzennych, związanych z poruszaniem się światła, opisywanych przez [[Szczególna teoria względności|szczególną teorię względności]] i [[Ogólna teoria względności|ogólną teorię względności]], dla których odległość w czasoprzestrzeni zawsze jest równa zeru.

Rozmaitość <math>M\, </math>w ogólnym przypadku '''nie jest przestrzenią wektorową''', dlatego jej punktów nie można np. odejmować i mnożyć przez skalar, tak jak to wykonuje się na wektorach. Aby zdefiniować wektory w rozmaitości postępuje się następująco: w każdym punkcie <math>x\, </math>rozmaitości definiuje się [[Przestrzeń styczna|przestrzeń styczną]] <math>T_xM </math>, utworzoną z wektorów stycznych do krzywych leżących rozmaitości. Przestrzeń styczna jest już przestrzenią wektorową. Tu definiuje się wektory zaczepione do punktu <math>x </math>. Następnie definiuje iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni stycznej, a dalej normę wektorów w oparciu o iloczyn skalarny. W ten sposób przestrzeniekażda styczneprzestrzeń styczna rozmaitości stają się przestrzenią unitarną.