Wikipedia

Ortogonalizacja Grama-Schmidta: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 7:
: <math>\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.</math>
 
Wówczas dla układu k wektorów <math>\{\mathbf{v}_1, \ldotsdots,\mathbf{v}_k\}</math> proces przebiega następująco:
[[Plik:Gram–Schmidt process.svg|frame|right|Dwa pierwsze kroki procesu ortogonalizacji]]
: <math>\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,</math>
Linia 15:
: <math>\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k,</math>
 
czyli wektor <math>u_k</math> to wektor <math>v_k</math> po odjęciu od niego rzutu wektora <math>v_k</math> na podprzestrzeń rozpiętą przez wektory <math>u_1,...,u_{k-1}.</math> Otrzymany zbiór <math>\{\mathbf{u}_1,\ldotsdots,\mathbf{u}_k\}</math> jest zbiorem wektorów ortogonalnych.
 
Aby zbudować w ten sposób zbiór [[Ortonormalność#Funkcje ortonormalne|ortonormalny]], każdy wektor należy podzielić przez jego [[Przestrzeń unormowana#Przestrzenie unitarne|normę]]:
Linia 30:
 
Pokażemy, że wektor <math>\mathbf{u}_k</math> otrzymany z algorytmu ortogonalizacji Grama-Schmidta jest prostopadły z dowolnym wektorem <math>\mathbf{u}_l,</math> gdzie <math>l \in \{1,\dots, k-1\}.</math>
 
: <math>\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum\limits_{j=1}^{k-1}
\frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_j \rangle}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j \rangle}
Linia 36 ⟶ 35:
 
Mnożąc skalarnie <math>\mathbf{u}_l</math> i <math>\mathbf{u}_k</math> i korzystając z [[Iloczyn skalarny#Definicja i własności|własności iloczynu skalarnego]] (rozdzielności iloczynu względem sumy, przemienności i zgodności z mnożeniem przez skalar) otrzymujemy:
: <math>\langle \mathbf{u}_j_l, \mathbf{u}_l_k \rangle</math>▼
 
:= <math>\left\langle \mathbf{u}_l,\ \mathbf{uv}_k \rangle- \sum\limits_{j=1}^{k-1}
\leftfrac{\langle \mathbf{uv}_l_k,\ \mathbf{vu}_k -_j \sumrangle}{\limits_langle \mathbf{j=1u}^_j, \mathbf{k-1u}_j \rangle}
\frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_j \rangle}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j right\rangle}
= \langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_j_l \right\rangle - \sum\limits_{j=1}^{k-1}
\frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l_j \rangle}{\langle - \sum\limits_mathbf{j=1u}^_j, \mathbf{k-1u}_j \rangle}
\frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_j \rangle}{\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_j_l \rangle}</math>
▲\langle \mathbf{u}_j, \mathbf{u}_l \rangle</math>
 
Na mocy założenia indukcyjnego w ostatniej sumie wszystkie składniki o indeksie <math>j\neq l</math> są zerowe, więc:
 
: <math>\langle \mathbf{u}_l, \mathbf{u}_k \rangle = \langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle -
- \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{u}_l \rangle} {\langle \mathbf{u}_l, \mathbf{u}_l \rangle}
\langle \mathbf{u}_l, \mathbf{u}_l \rangle = 0</math>
 
co oznacza, że wektor <math>\mathbf{u}_k</math> jest prostopadły z każdym innym wektorem <math>\mathbf{u}_1,\dots, \mathbf{u}_{k-1}</math>
Linia 58 ⟶ 56:
Gdyby <math>\mathbf{u}_k=0,</math> to układ <math>\mathbf{v}_1,\dots, \mathbf{v}_{k-1}, \mathbf{v}_k</math> wbrew założeniom byłby liniowo zależny, bo nie wszystkie współczynniki liczbowe kombinacji są zerowe.
 
Ponieważ ortogonalny układ wektorów jest liniowo niezależny, a każdy z wektorów <math>\mathbf{u}_i</math> jest kombinacją liniową elementów z bazy <math>\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k,</math> więc tak wyznaczone wektory <math>\mathbf{u}_1,\dots , \mathbf{u}_k</math> istotnie są bazą.
 
== Przykłady ==
=== Przestrzeń R² ===
Rozważmy zbiór wektorów w '''R'''<supmath>\mathbf{R}^2</supmath> (ze standardowym iloczynem skalarnym):
: <math>S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 3 \\ 1\end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}2 \\2\end{bmatrix}\right\rbrace.</math>
 
Linia 71 ⟶ 69:
Sprawdzamy, że wektory '''u'''<sub>1</sub> i '''u'''<sub>2</sub> rzeczywiście są prostopadłe:
: <math>\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix} \right\rangle = -\frac{6}{5} + \frac{6}{5} = 0,</math>
 
ponieważ jeśli dwa wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi ''0''.
 
Linia 81 ⟶ 80:
: <math>\langle f,g\rangle_w = \int\limits_{-1}^1 f(x) g(x) dx\ \ \ f,g\in R[x]</math>
 
Przeprowadzając proces ortogonalizacji układu <math>1, x, x^2, x^3, \dots,</math> dostaniemy układ ortogonalny <math>1,\ x,\ x^2 - \tfrac{1}{3},\ x^3 - \tfrac{3}{5}x, \dots</math>
 
Są to z dokładnością do czynnika [[wielomiany Legendre’a]]:
: <math>P_n(x) = \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\quad (n=0,1,\ldots).</math>
 
Po znormalizowaniu powstanie układ
: <math>\tilde{P_n}(x) = \sqrt{n+\tfrac{1}{2}}\cdot\frac{1}{(2n)!!}P_n(x).</math>
 
== Zobacz też ==
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Ortogonalizacja_Grama-Schmidta”