Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 31 bajtów ,  4 lata temu
m
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
m (drobne techniczne)
m (WP:SK+Bn)
'''Wartość oczekiwana ''' ('''wartość średnia''', '''przeciętna, ''', dawniej '''nadzieja matematyczna''') – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy [[Moment (matematyka)|moment zwykły]]. [[Estymator]]em wartości oczekiwanej [[rozkładRozkład cechyprawdopodobieństwa|rozkładu cechy]] w populacji jest [[średnia arytmetyczna]].
 
== Definicja formalna ==
Jeżeli <math>X</math> jest zmienną losową na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math> o wartościach w <math>\mathbb R,</math>, to wartością oczekiwaną zmiennej losowej <math>X</math> nazywa się liczbę
: <math>\mathbb EX := \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math><ref>{{Cytuj |autor=J. Jakubowski, R. Sztencel |tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |data=2010 |miejsce=Warszawa |s=82}}</ref> o ile ona istnieje, tzn. jeżeli:
: <math>\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty</math><ref>{{Cytuj |autor=J. Jakubowski, R. Sztencel |tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |data=2010 |miejsce=Warszawa |s=81}}</ref>.
 
=== Zmienna dyskretna ===
W przypadku, gdy [[zmienna losowa]] <math>X</math> ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio <math>p_1, p_2, \dots, p_n,</math>, to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną <math>\mathbb EX</math>
: <math>\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i</math><ref>{{Cytuj |autor=J. Jakubowski, R. Sztencel |tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |data=2010 |miejsce=Warszawa |s=85}}</ref>.
 
Jeżeli zmienna <math>X</math> przyjmuje nieskończenie, ale [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie]] wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje <math>\infty</math> w miejsce <math>n\,</math> (istnieje ona tylko wtedy, gdy [[szereg (matematyka)|szereg]] ten jest zbieżny bezwzględnie).
 
== WłaściwościWłasności ==
Jeśli <math>X</math> jest zmienną losową o [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|funkcji gęstości prawdopodobieństwa]] <math>f(x),</math>, to jej wartość oczekiwana wynosi
: <math>\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~x f(x) dx.</math>.
 
Jeżeli <math>Y = \varphi(X)</math> jest [[funkcja mierzalna|funkcją mierzalną]], to
: <math>\mathbb EY = \mathbb E\left(\varphi(X)\right) = \int\limits_\mathbb R~\varphi(x) f(x) dx.</math>.
 
Jeśli istnieją <math>\mathbb EX</math> oraz <math>\mathbb EY,</math>, to:
* <math>\mathbb Ec = c,</math>, gdzie <math>c</math> jest [[funkcja stała|funkcją stałą]] (wynika z [[funkcja jednorodna|jednorodności]] sumy/szeregu/całki),
* <math>\forall_{a, b}\; \mathbb E(aX + b) = a\mathbb EX + b</math> (wynika z [[Przekształcenie liniowe|liniowości]] sumy/szeregu/całki),
* jeżeli <math>X, Y</math> są [[zależność zmiennych losowych|niezależne]], to <math>\mathbb E(XY) = \mathbb EX \mathbb EY,</math>,
* jeżeli <math>X \geqslant 0</math> [[zbiór miary zero|prawie wszędzie]], to <math>\mathbb EX \geqslant 0,</math>,
* <math>\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|.</math>.
 
== W mechanice kwantowej ==
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]. Wartość oczekiwana [[Obserwabla|obserwabli]], której odpowiada operator <math>\hat{A}</math> dla stanu kwantowego układu opisywanego [[normaPrzestrzeń funkcjiBanacha|znormalizowaną]] funkcją falową <math>\psi</math> wynosi <math>\langle\hat{A}\rangle _{rangle_\psi} = \int \psi^* (x) \hat{A} (x, \partial / \partial x ) \psi (x) dx ,</math>, gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
 
W [[notacja Diraca|notacji Diraca]] wzór ten można zapisać:
: <math>\langle\hat{A}\rangle _{rangle_\psi} = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle.</math>.
 
[[zasada nieoznaczoności|Nieoznaczoność]] wartości oczekiwanej <math>\hat{A},</math>, czyli [[wariancja]] <math>\hat{A},</math>, wynosi
: <math>(\Delta\hat{A})^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2.</math>.
 
== Przypisy ==
 
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Jakubowski | imię = Jacek | tytuł = Wstęp do teorii prawdopodobieństwa | data = 2004 |rok=| |wydawca = Script | miejsce = Warszawa | imię2nazwisko2 = RafałSztencel | nazwisko2imię2 = SztencelRafał | strony = | isbn = 83-89716-01-1 }}
 
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]]