Antynomia Russella: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Rozwiązanie paradoksu: Ta sekcja, zamiast coś wyjaśnić, wprowadzała jedynie zamęt. Stwierdzenie, że „aksjomatyka teorii mnogości ZF nie jest sprzeczna z paradoksem Russella” oznacza ni mniej ni więcej, że sama teoria mnogości ZF jest sprzeczna, czyli sama jest jednym wielkim paradoksem!. Potwierdzają to wywody w tej sekcji: z jednej strony istnieje zbiór V a z drugiej strony taki zbiór V nie istnieje. To są totalne bzdury i nie o to tutaj chodzi. |
przebudowa artykułu |
||
Linia 6:
: <math>V = \bigl\{X\colon X \notin X\bigl\}.</math>
Postawmy pytanie, czy <math> V</math> jest swoim elementem, czy nie.
Zbiór taki istnieć nie może, ponieważ rozpatrując pytanie o to, czy <math> V</math> jest elementem <math> V</math>, dochodzi się do sprzeczności: jeśli byłby, to wtedy <math> V</math> nie spełnia własności elementów zbioru <math> V</math>, a więc nie jest elementem <math> V</math>; jeśli zaś <math> V</math> nie byłby elementem <math> V</math>, to <math> V</math> musi być elementem <math> V</math> na mocy definicji tego zbioru<ref>{{cytuj stronę|url=http://encyklopedia.pwn.pl/haslo.php?id=3954199|tytuł=Paradoks Russella|opublikowany=encyklopedia.pwn.pl|data dostępu=2011-04-14}}</ref>.▼
*Jeśli przypuścimy, że <math> V</math> jest elementem <math> V</math>, to <math> V</math> nie spełnia definicji zbioru <math> V</math>, a więc nie jest elementem <math> V</math>
▲
Prowadzi do do sprzeczności:
: <math> V \notin V \iff V \in V.</math>
=== Wyjaśnienie paradoksu ===
Paradoks jest pozorny i wynika z nadużycia pojęcia zbioru. „Zbiór” <math> V</math> został utworzony jako <math> \bigl\{X\colon P(X) \bigl\}</math>, gdzie <math>P</math> jest predykatem z jedną zmienną <math> X</math>, niezawierającym symbolu <math> V</math>. Tworzenie zbiorów w taki sposób było powszechną praktyką w naiwnej teorii mnogości. Jednak w [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatycznej teorii mnogości ZF]] istnieją jedynie takie zbiory, których istnienie jest zagwarantowane jakimś aksjomatem (np. zbiór pusty) bądź takie, które można skonstruować powołując się na jakiś aksjomat (np. aksjomat pary, aksjomat sumy). ▼
Definicja typu <math> \bigl\{X\colon P(X) \bigl\}</math> jest poprawna („skuteczna”), o ile elementy <math> X</math> są pobierane z jakiegoś już istniejącego zbioru. W przeciwnym razie dostajemy nie zbiór ale klasę właściwą. Taką klasą właściwą może też być <math> \bigl\{X\colon\; X=X \bigl\}</math>, jednak o ile w przypadku tej klasy traktowanie jej jako zbioru prowadzi np. do [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów|paradoksu zbioru wszystkich zbiorów]], o tyle w przypadku klasy <math> \bigl\{X\colon X \notin X\bigl\}</math> traktowanie jej jako zbioru prowadzi do sprzeczności już na etapie weryfikowania, czy on sam należy do siebie. czy nie.▼
== Anegdotyczne wersje paradoksu ==
[[Anegdota|Anegdotyczne]] sformułowanie [[antynomia|antynomii]] Russela nosi nazwę „paradoksu fryzjera” lub „paradoksu golibrody”<ref>{{cytuj stronę|url=http://www.math.edu.pl/paradoks-fryzjera|tytuł=Paradoks fryzjera|opublikowany=www.math.edu.pl|data dostępu=2011-04-14}}</ref>:
: ''Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli tych jego mieszkańców, którzy sami się nie golą. Czy fryzjer goli się sam?''
Rozważania dotyczące paradoksu golibrody mogą prowadzić do zaskakujących wniosków. Rozważmy zbiór <math> X,</math> którego elementy wskazane zostaną za pomocą tzw. [[funkcja charakterystyczna zbioru|funkcji charakterystycznej]] <math> \chi_A,</math> która przyjmuje dla danego elementu <math> x</math> wartość <math> 1,</math> gdy <math> x</math> należy do <math> X</math>, oraz wartość <math> 0,</math>, gdy <math> x</math> nie należy do <math> X.</math> Wykorzystując ten sposób patrzenia na zbiory mężczyzn w mieście, można przypisać do zbioru <math> S</math> tych z nich, którzy golą się sami, albo do zbioru <math> G</math> tych mężczyzn, którzy korzystają w tym względzie z usług golibrody. Do którego z nich należy sam golibroda? Dla dowolnego golącego się mężczyzny <math> m</math> prawdą jest, że <math> \chi_S(m) + \chi_G(m) = 1,</math> tzn. mężczyzna jest golony (goli się sam albo goli go golibroda). Można się zgodzić, iż golibroda <math> g</math> w takim samym stopniu należy do tych, którzy golą się sami, jak i do tych, których goli golibroda, tzn. <math> \chi_S(g) = \chi_G(g).</math> Z równości tych wynika wtedy <math> \chi_S(g) = \chi_G(g) = \frac{1}{2}.</math> Paradoks ten można więc rozwiązać wprowadzając pośredni, ułamkowy stopień „należenia” do zbioru, które sformalizowano w postaci tzw. ''[[zbiór rozmyty|zbiorów rozmytych]]'' (por. [[logika trójwartościowa]] i [[logika wielowartościowa]]).▼
[[John D. Barrow]] w swojej książce „Pi razy drzwi” używa postaci [[Cyrulik sewilski (opera)|cyrulika sewilskiego]]: „Cyrulik sewilski goli w [[Sewilla|Sewilli]] wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami. Czy cyrulik goli się sam?”. Inne sformułowanie tego paradoksu dotyczy ciotki, która lubi tych, co siebie nie lubią i nie lubi tych, co siebie lubią. Odpowiedź na pytanie, czy ciotka lubi siebie prowadzi do paradoksalnej konkluzji, że ciotka lubi siebie wtedy i tylko wtedy, gdy siebie nie lubi.
==
▲
▲Paradoks jest pozorny i wynika z nadużycia pojęcia zbioru. „Zbiór” <math> V</math> został utworzony jako <math> \bigl\{X\colon P(X) \bigl\}</math>, gdzie <math>P</math> jest predykatem z jedną zmienną <math> X</math>, niezawierającym symbolu <math> V</math>. Tworzenie zbiorów w taki sposób było powszechną praktyką w naiwnej teorii mnogości. Jednak w [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatycznej teorii mnogości ZF]] istnieją jedynie takie zbiory, których istnienie jest zagwarantowane jakimś aksjomatem (np. zbiór pusty) bądź takie, które można skonstruować powołując się na jakiś aksjomat (np. aksjomat pary, aksjomat sumy).
▲Definicja typu <math> \bigl\{X\colon P(X) \bigl\}</math> jest poprawna („skuteczna”), o ile elementy <math> X</math> są pobierane z jakiegoś już istniejącego zbioru. W przeciwnym razie dostajemy nie zbiór ale klasę właściwą. Taką klasą właściwą może też być <math> \bigl\{X\colon\; X=X \bigl\}</math>, jednak o ile w przypadku tej klasy traktowanie jej jako zbioru prowadzi np. do [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów|paradoksu zbioru wszystkich zbiorów]], o tyle w przypadku klasy <math> \bigl\{X\colon X \notin X\bigl\}</math> traktowanie jej jako zbioru prowadzi do sprzeczności już na etapie weryfikowania, czy on sam należy do siebie. czy nie.
== Zobacz też ==
| |||