Wikipedia

Grupa Galileusza: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
szablon
Linia 1:
{{Dopracować|źródła=2018-03}}
 
{{Szczególna teoria względności}}
Transformacje [[Galileusz]]a
<center>:: <math>x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j +v^i t +x^i_0 ,</math></center>
<center>:: <math>t \rightarrow t'=t+t_0 </math></center>
zachowują strukturę [[czasoprzestrzeń Galileusza|czasoprzestrzeni Galileusza]], tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu <math>R^i_j</math>, prędkość <math>v^i</math>, translację w przestrzeni <math>x^i_0</math> i czasie <math>t_0</math>. ▼
 
▲zachowują strukturę [[czasoprzestrzeń Galileusza|czasoprzestrzeni Galileusza]], tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu <math>R^i_j,</math>, prędkość <math>v^i,</math>, translację w przestrzeni <math>x^i_0</math> i czasie <math>t_0.</math>.
Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach ▼
 
<center><math>x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j , </math></center>▼
▲Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach
<center><math>\sum_{i}^3 (x^i)^2 = \sum_{i}^3 ({x'}^i)^2 </math></center>
▲<center>:: <math>x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j , </math></center>
Daje to warunek ▼
:: <math>R\sum_i^{T}3 R(x^i)^2 =I \sum_i^3 ({x'}^i)^2.</math>
 
gdzie [[macierz transponowana]] <math>(R^T)^i_j=R^j_i </math>. Ponieważ [[macierz odwrotna]] spełnia <math>R^{-1}R=I</math>, to dla [[grupa obrotów|grupy obrotów]] <math>R^{-1}=R^{T}</math>. W zbiorze [[macierz ortogonalna|macierzy ortogonalnych]] SO(3) istnieje element neutralny ([[macierz jednostkowa]] I), element odwrotny <math>R^{-1}R=I</math> i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierza ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy [[Grupa (matematyka)|grupę]]. Dodatkowy warunek <math>det(R)=1</math> definiuje [[grupa obrotów|podgrupę obrotów]] SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciagły przez trzy parametry (wektor <math>\alpha^i=\omega^i \psi </math>, oś obrotu <math>\omega^i</math> i kat obrotu ψ ).▼
▲Daje to warunek
<center><math>R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}</math></center>.▼
:: <math>R^T R =I,</math>
Trzy macierze <math>T^a</math> nazywamy [[grupa obrotów|'''generatorami grupy obrotów''']]. Gropa obrotów SO(3) jest ciagłą [[grupa Liego|grupą Liego]]▼
 
gdzie [[macierz transponowana]] <math>(R^T)^i_j=R^j_i.</math>
 
▲gdzie [[macierz transponowana]] <math>(R^T)^i_j=R^j_i </math>. Ponieważ [[macierz odwrotna]] spełnia <math>R^{-1}R=I,</math>, to dla [[grupa obrotów|grupy obrotów]] <math>R^{-1}=R^{T}.</math>. W zbiorze [[macierz ortogonalna|macierzy ortogonalnych]] SO(3) istnieje element neutralny ([[macierz jednostkowa]] I), element odwrotny <math>R^{-1}R=I</math> i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzamacierzą ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy [[Grupa (matematyka)|grupę]]. Dodatkowy warunek <math>det(R)=1</math> definiuje [[grupa obrotów|podgrupę obrotów]] SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciagłyciągły przez trzy parametry (wektor <math>\alpha^i=\omega^i \psi ,</math>, oś obrotu <math>\omega^i</math> i kat obrotu ψ <math>\psi</math>).
▲<center>:: <math>R=e^{i\sum_{a}sum_a^{3} T^a \alpha^a}.</math></center>.
 
▲Trzy macierze <math>T^a</math> nazywamy [[grupa obrotów|'''generatorami grupy obrotów''']]. Gropa obrotów SO(3) jest ciagłąciągłą [[grupa Liego|grupą Liego]].
 
Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa właściwych transformacji Galileusza
<center>:: <math>x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +v^i t +x^i_0 ,</math></center>
<center>:: <math>t \rightarrow t'=t+t_0 .</math></center>
 
Parametryzowana jest przez 7 parametrów: vektor v translację w przestrzeni i w czasie <math>T_0.</math>.
 
Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa translacji
<center>:: <math>x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +x^i_0 ,</math></center>
<center>:: <math>t \rightarrow t'=t+t_0 .</math></center>
 
Podgrupa ta parametryzowana jest przez cztery parametry.
 
Grupa Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciagłychciągłych parametrów. Zgodnie z [[twierdzenie Noether|twierdzeniem Noether]], gdy grupa ta jest [[symetria|symetrią]] równań ruchu układu fizycznego, odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. [[Energia (fizyka)|energii]] z translacji w [[czas]]ie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji własciwejwłaściwej generowanej przez <math>v.</math>
 
== Zobacz też: [[Grupa Poincaré]], [[Grupa Lorentza]]==
* [[grupa Lorentza]]
* [[grupa Poincarégo]]
 
[[Kategoria:Fizyka matematyczna]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_Galileusza”