Rozmaitość różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami

Przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X}^{n}, n=0,1,\ldots dots,</math>, nazywamy '''rozmaitością <math>n-\ </math> wymiarową''', jeśli dla każdego punktu <math>x\in \mathbb{X}^{n}</math> istnieje otwarte i spójne otoczenie <math>U\ ,</math>, <math>x\in U \subset \mathbb{X}^{n},</math>, oraz [[homeomorfizm]] <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> tego otoczenia <math>U\ </math> na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej <math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}.</math>. Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}</math> map nazywa się atlasem rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n},</math>, gdy dziedziny <math>U_l\ </math> homeomorfizmów <math>\phi_l\ </math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X}^{n{:}</math>:

{{wzór|<math>\mathbb{X}^{n}=\bigcup_{l \in I}U_l.</math>|1}}

Zbiór wszystkich map rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math> nazywamy ''atlasem zupełnym '' <math>\Phi_0\ </math> rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}\ .</math>.

Zawsze będziemy zakładali, że dla <math>l\neq\chi</math> również <math>\phi_l \neq \phi_{\chi};</math>; tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu <math>\Phi_0\ ,</math>, natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.

Dopuszczenie przypadku <math>n=0\ </math> jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.

Niech <math>a_i\ ,</math>, <math>i=0,1,\ldotsdots,n,</math> będzie bazą <math>\mathbb{R}^{n},</math>, którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor <math>\kappa\in \mathbb{R}^n</math> można utożsamić z uporządkowanym <math>n-\ </math>-elementowym ciągiem <math>(\xi^i)\ </math> jego współrzędnych względem bazy <math>a_i\ .</math>. Dla mapy <math>\phi\colon U\to \mathbb{R}^n</math> otrzymujemy w tej bazie następujący opis:

{{wzór|<math>\phi\colon x\in U\to \phi(x)=x^i(x)a_{i}a_i\in \mathbb{R}^n,</math>|2}}

który każdemu punktowi <math>x\in U\ </math> przyporządkowuje uporządkowany ciąg <math>n\ </math> liczb rzeczywistych <math>(x^i(x))\ ,</math>, czyli tzw. ''współrzędnych punktu <math>x\ </math> względem mapy'' <math>\phi\ .</math>.

Rozważmy dwie mapy <math>\phi_l\ ,</math>, <math>\phi_\chi\ </math> rozmaitości <math>\mathbb{X}^n,</math>, dla których przekrój <math>U_l\cap U_\chi\neq\emptyset.</math>. Wtedy punktowi <math>x\in U_l\cap U_\chi</math> odpowiadają współrzędne <math>x^i(x)\ </math> w mapie <math>\phi_l\ </math> oraz <math>x^{i'}(x)\ </math> w mapie <math>\phi_\chi\ .</math>. Oba te układy współrzędnych na przekroju <math>U_l\cap U_\chi\ </math> wzajemnie wiąże ''przekształcenie współrzędnych'':

Samo <math>\phi_{\chi l}\ </math> jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni <math>\mathbb{R}^n.</math>.

Przechodząc do współrzędnych <math>\mathbb{R}^n</math> w bazie <math>a_i\ </math> zapisujemy <math>\phi_{\chi l}\ </math> za pomocą układu <math>n\ </math> funkcji rzeczywistych <math>n\ </math> zmiennych

{{wzór|<math>x^{i'}=x^{i'}(x^i).\ </math> |4}}

Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych <math>\{\phi_{\chi l}\}\ ,</math>, dla którego zachodzi

Niech <math>f\colon\mathbb{X}^n\to\mathbb{R}\ </math> będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości <math>\mathbb{X}^n\ .</math>. Każdej mapie <math>\phi_l\ </math> jest przyporządkowane odpowiednie ''przedstawienie'' <math>f_l\ </math> ''funkcji'' <math>f\ </math> w tej mapie

Dla <math>x\in U_l \cap U_\chi\ </math> mamy dwa przedstawienia <math>f_l(x^i)\ ,</math>, <math>f_\chi(x^{i'})\ </math> funkcji <math>f\ </math> w mapach <math>\phi_l\ ,</math>, <math>\phi_\chi\ ,</math>, które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna

Zatem, każdej funkcji rzeczywistej <math>f</math> odpowiada rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}\ </math> jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}\ </math> funkcji rzeczywistych <math>n\ </math> zmiennych rzeczywistych <math>(x^i)\in \phi_l(U_l)\ ,</math>, dla której zachodzi {{LinkWzór|7}}, wtedy przyjmując <math>f(x)=f_l\circ \phi_l(x), x\in U_l\ </math> otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości <math>\mathbb{X}^n\ .</math>. Niech <math>x\in U_l \cap U_\chi\ ,</math>, wtedy na mocy {{LinkWzór|3}}, {{LinkWzór|8}} będzie

{{wzór|<math>f_\chi\circ\phi_\chi=f_l\circ\phi_{l \chi}\circ\phi_\chi=f_l\circ\phi_l </math>|9}}

tak, że definicja funkcji <math>f(x)\ </math> nie zależy od wyboru mapy <math>\phi_l\ </math> <math>(x\in U_l)\ .</math>.

Zauważmy od razu <math>f\ </math> ''jest ciągła na <math>\mathbb{X}^n\ </math> wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia <math>f_l\ </math> w mapach są funkcjami ciągłymi.''

Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji <math>f\ </math> na <math>\mathbb{X}^n</math> za pomocą jej przedstawień w mapach niech <math>x_0\in U_l;</math>; można powiedzieć, że <math>f\ </math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0\ ,</math>, gdy <math>f_l\ </math> jest różniczkowalna w punkcie <math>(x_0^i)=\phi_l(x_0)\in\mathbb{R}^n.</math>.

Dla <math>x_0\in U_l \cap U_\chi</math> nie wynika na ogół z {{LinkWzór|8}} różniczkowalność <math>{f_\chi}\ </math> w punkcie <math>(x_0^{i'})=\phi_\chi(x_0),</math>, bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych <math>\phi_{l \chi}\ </math> są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych <math>\phi_{l \chi}\ </math> były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciagłyciągły. Wtedy różniczkowalność <math>f_\chi\ </math> będzie wynikała z różniczkowalności <math>f_l\ </math> oraz <math>\phi_{l \chi}\ </math> na mocy {{LinkWzór|8}} i [[reguła łańcuchowa|reguły łańcuchowej]] dla pochodnych funkcji złożonych.

# Przestrzeń <math>\mathbb{R}^n\ </math> <math>(\mathbb{C}^n)\ </math> jest <math>n\ </math>-krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).

# Iloczyn <math>n\ </math>-krotny okręgu <math>\mathbb{S}^1</math> nazywamy <math>n\ </math>-''wymiarowym torusem'' <math>\mathbb{T}^n\ ;</math>; jest to rozmaitość różniczkowalna klasy <math>C_\omega\ .</math>.

# Niech <math>\mathbb{Y}</math> będzie otwartym podzbiorem rozmaitości <math>\mathbb{X}^n.</math>. Wówczas ograniczenie atlasu <math>\Phi\ </math> tej rozmaitości do podzbioru określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na <math>\mathbb{Y},</math>, względem której <math>\mathbb{Y}</math> jest <math>n\ </math>-wymiarową podrozmaitością rozmaitości <math>\mathbb{X}^n.</math>. <math>\mathbb{Y}</math> nazywamy ''podrozmaitością otwartą''.

# Niech <math>\mathbb{X}^2</math> oraz <math>\hat{\mathbb{X}}^2</math> będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny <math>\mathbb{R}^2.</math>. Utożsamiamy półpłaszczyzny <math>y<0\ ,</math>, <math>\hat{y}<0\colon</math> <math>(\hat{x}, \hat{y})\equiv (x,y)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi <math>\hat{x}=x</math> oraz <math>y=\hat{y}<0.</math>. Powstaje wówczas rozmaitość analityczna <math>\mathbb{Y}^2,</math>, która nie jest rozmaitością Hausdorffa. Przykładowo otoczenia punktów <math>(\hat{0}, \hat{0})</math> oraz <math>(0, 0)\ </math> nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń <math>\mathbb{Y}^2</math> jest przestrzenią <math>T_1\ .</math>.