Równania Eulera-Lagrange’a: Różnice pomiędzy wersjami

 

Np. dla funkcjonału <math>S</math> zależnego od funkcji jednej zmiennej <math>x(t)</math> i jej pierwszej pochodnej <math>x'(t)</math>

: <math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(x(t),x'(t),t) dt</math>

 

=== Mechanika klasyczna ===

Zgodnie z [[Zasada najmniejszego działania|zasadą Hamiltona]] układ fizyczny porusza się po takiej trajektorii, że [[Działanie (fizyka)|działanie]] <math>S</math> obliczone dla ruchu od chwili <math>t=t_1</math> do chwili <math>t=t_2</math>jest stacjonarne, przy czym

: <math>S=\int\limits^{t_2}_{t_1}L dt,</math>

 

 

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla każdej funkcji <math>\varphi,</math> więc otrzymamy równanie

:<math>\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'}=0</math>

 

== Uogólnienia dla kilku funkcji, kilku zmiennych, wyższych pochodnych ==

=== Pojedyncza funkcja jednej zmiennej z wyższymi pochodnymi ===

Wartość stacjonarna funkcjonału

 

można otrzymać z równań Euler–Lagrange postaci

 

przy ustalonych warunkach brzegowych dla funkcji i jej pochodnych od pierwszej do <math>k-1</math> (tj. dla <math>f^{(i)}, i \in \{0, ..., k-1\}</math>). Punkty końcowe pochodnej <math>f^{(k)}</math> są dowolne.

=== Kilka funkcji jednej zmiennej z pochodną 1-go rzędu ===

Jeżeli mamy funkcje (<math>f_1, f_2, \dots, f_m</math>) zmiennej (<math>x</math>) to szukamy extremum funkcjonału

 

Równania Euler–Lagrange mają postać

 

=== Pojedyncza funkcja kilku zmiennych z pochodną 1-go rzędu ===

Jeżeli funkcja zależy od wielu zmiennych jest określona na pewnej powierzchni <math>\Omega</math> , to

 

osiąga ekstremum, gdy

: <math> \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{, j}}\right) = 0. </math>

 

=== Kilka funkcji kilku zmiennych z pochodnymi 1-go rzędu ===

Jeśli trzeba wyznaczyć kilka nieznanych funkcji o wielu zmiennych, takich że

 

to układ równań Eulera-Lagrange'a ma postać

 

=== Pojedyncza funkcja o 2 zmiennych z wyższymi pochodnymi ===

Jeżeli nieznana funkcja ''f'' zależy od dwóch zmiennych ''x''₁ oraz ''x''₂ i jeżeli funkcjonał zależy od wyższych pochodnych funkcji - od pierwszej aż do ''n''-tej, tj.

 

to równanie Eulera-Lagrange'a ma postać

 

co można krótko zapisać w postaci

 

gdzie <math>\mu_1 \dots \mu_j</math> są indeksami które przebiegają od 1 do liczny zmiennych, np. tutaj przyjmują wartości od 1do 2. Sumowanie po indeksach <math>\mu_1 \dots \mu_j</math> jest takie, że <math>\mu_1 \leq \mu_2 \leq \ldots \leq \mu_j</math> tzn. nie może być sumowania tej samej pochodnej cząstkowej dwa razy - po przestawieniu kolejności zmiennych; np. <math>f_{,12} = f_{,21}</math> pojawia się tylko jeden raz.

 

=== Kilka funkcji o kilku zmiennych z wyższymi pochodnymi ===

Jeżeli jest ''p'' nieznanych funkcji ''f''_i zależnych od ''m'' zmiennych ''x''₁ ... ''x''_m oraz funkcjonał zależy od pochodnych tych funkcji aż do ''n''-tego rzędu, tj.

 

gdzie <math>\mu_1 \dots \mu_j</math> są indeksami o wartościach od 1 do m (tj. do liczby zmiennych), to równania Euler–Lagrange mają postać

 

gdzie sumowanie po indeksach <math>\mu_1 \dots \mu_j</math> jest takie, by nie powtarzać sumowania samych pochodnych cząstkowych <math> f_{i,\mu_1\mu_2} = f_{i,\mu_2\mu_1}</math> kilka razy (podobnie jak w podrozdziale powyżej). Można to wyrazić w bardziej zwarty sposób w postaci:

 

== Uogólnienia na rozmaitości ==

Niech <math>M</math> będzie gładką rozmaitością oraz niech <math>C^\infty([a,b])</math> oznacza przestrzeń funkcji gładkich <math>f:[a,b]\to M</math>. Wtedy dla funkcjonałów <math>S:C^\infty ([a,b])\to \mathbb{R}</math> w postaci

 

gdzie<math>L:TM\to\mathbb{R}</math> jest lagrangianem wyrażenie <math>\mathrm{d} S_f=0</math> jest równoważne warunkowi, że dla wszystkich <math>t\in [a,b]</math>, każdy układ <math>(x^i,X^i)</math> w sąsiedztwie <math>\dot{f}(t)</math> prowadzi do <math>\dim M</math> o równaniach :

 

== Przypisy ==