Miara licząca: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Linia 1:
'''Miara licząca''' – [[Miara (matematyka)|miara]], która przyporządkowuje [[Zbiór|zbiorowi]] '''liczbę jego elementów'''
Miara ta pozwala sformułować kryteria zbieżności [[szereg (matematyka)|szeregów]] poprzez zastosowanie do [[ciąg (matematyka)|ciągów]] twierdzeń teorii [[całka Lebesgue’a|całki Lebesgue’a]] (m.in. [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej|o zbieżności monotonicznej]], [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej|o zbieżności ograniczonej]], [[twierdzenie Fubiniego|Fubiniego]], [[lemat Fatou|lematu Fatou]], zob. dalej).
== Definicja ==
Niech
[[Funkcja]]
: <math>\mu(A) = \begin{cases}|X|, & \mbox{gdy } X\mbox{ jest zbiorem skończonym}, \\ \infty, & \mbox{gdy } X \mbox{ jest zbiorem nieskończonym}, \end{cases}</math>▼
▲:<math>\mu(A) = \begin{cases}|X|, & \mbox{gdy } X\mbox{ jest zbiorem skończonym}, \\ \infty, & \mbox{gdy } X \mbox{ jest zbiorem nieskończonym}, \end{cases}</math>
▲jest miarą nazywaną ''miarą liczącą'' na zbiorze ''X'' (zob. [[zbiór skończony]]).
▲== Przykład: Przestrzenie ''<math>L_p(\Gamma, \mu)</math>'' ==
{{zobacz też|przestrzeń Lp|o1=przestrzeń ''L<sub>p</sub>''}}
Niech dana będzie [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeń]] funkcji
* są ''sumowalne'' w
▲* mają wartości [[skalar (matematyka)|skalarne]]
▲* przyjmują co najwyżej [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wiele]] niezerowych wartości
▲* są ''sumowalne'' w ''p''-tej potędze, tzn. dla każdej funkcji ''<math>f</math>'' tej przestrzeni oraz dla ''<math>p \in [0, \infty)</math>''liczba
▲:<math>\|f\|_p = \left(\sum_{i\in X} \bigl|f(i)\bigr|^p \right)^\frac{1}{p}</math>
Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem
▲jest liczbą skończoną (przy czym sumowanie przebiega po miejscach niezerowych funkcji).
▲Z definicji widać, że na zbiorze <math>X\,</math>określona została miara licząca.
▲Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem ''<math>\ell_p(X)</math>'' i czyta się: przestrzeń funkcyjna funkcji sumowalnych w ''<math>p</math>''-tej potędze, określonych na zbiorze <math>X\,</math>.
== Twierdzenia ==
'''Tw. 1''' Przestrzenie
'''Tw. 2''' Przestrzeń ''<math>\ell_p(X)\,</math>''jest: ▼
* [[Przestrzeń unormowana|przestrzenią unormowaną]], przy czym norma zadana jest wzorem
*: <math>\|f\|_p = \left(\sum_{i\in X} \
* [[przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], z metryką generowaną przez normę, tj.
*: <math>d(f,g)=\|f-g\|_p = \left(\sum_{i\in X} \
* przestrzenią metryczną [[przestrzeń zupełna|zupełna]], czyli [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]].
'''Tw. 3:''' Przestrzenie
'''Tw. 4 (o izometrycznym izomorfizmie)'''
Niech
▲:<math>\bigl(\ell_p(X)\bigr)^* \cong \ell_q(X)</math>
wprowadzany przez standardowe [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|parowanie]]
: <math>\langle f, g\rangle = \sum_{i\in X}f(i)g(i),</math>
gdzie
[[Kategoria:Miary (teoria miary)|Licząca]]
|