Miara licząca: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Linia 1:
'''Miara licząca''' – [[Miara (matematyka)|miara]], która przyporządkowuje [[Zbiór|zbiorowi]] '''liczbę jego elementów''' - gdy jest to zbiór skończony lub nieskończoność - gdy jest to [[Zbiór skończony|zbiór nieskończony]].
 
Miara ta pozwala sformułować kryteria zbieżności [[szereg (matematyka)|szeregów]] poprzez zastosowanie do [[ciąg (matematyka)|ciągów]] twierdzeń teorii [[całka Lebesgue’a|całki Lebesgue’a]] (m.in. [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej|o zbieżności monotonicznej]], [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej|o zbieżności ograniczonej]], [[twierdzenie Fubiniego|Fubiniego]], [[lemat Fatou|lematu Fatou]], zob. dalej).
 
== Definicja ==
Niech ''<math>X</math>'' będzie dowolnym zbiorem, niech ''<math>P(X)\,</math>'' będzie [[zbiór potęgowy|zbiorem potęgowym]] zbioru ''<math>X</math>''(tj. [[rodzina zbiorów|rodziną]] wszystkich jego podzbiorów). Niech ''<math>|A|</math>'' oznacza liczbę elementów zbioru, gdy jest on skończony.
 
[[Funkcja]] ''<math>\mu:\colon P(X)\to[0, \infty]\,</math>'' określona wzorem
: <math>\mu(A) = \begin{cases}|X|, & \mbox{gdy } X\mbox{ jest zbiorem skończonym}, \\ \infty, & \mbox{gdy } X \mbox{ jest zbiorem nieskończonym}, \end{cases}</math>
 
jest miarą nazywaną ''miarą liczącą'' na zbiorze ''<math>X''</math> (zob. [[zbiór skończony]]).
:<math>\mu(A) = \begin{cases}|X|, & \mbox{gdy } X\mbox{ jest zbiorem skończonym}, \\ \infty, & \mbox{gdy } X \mbox{ jest zbiorem nieskończonym}, \end{cases}</math>
 
== Przykład: Przestrzenie ''<math>L_p(\Gamma, \mu)</math>'' ==
jest miarą nazywaną ''miarą liczącą'' na zbiorze ''X'' (zob. [[zbiór skończony]]).
 
== Przykład: Przestrzenie ''<math>L_p(\Gamma, \mu)</math>'' ==
{{zobacz też|przestrzeń Lp|o1=przestrzeń ''L<sub>p</sub>''}}
Niech dana będzie [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeń]] funkcji ''<math>f\,</math>'' określonych na zbiorze <math>X,</math>, które:
* mają wartości [[skalar (matematyka)|skalarne]]
* przyjmują co najwyżej [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wiele]] niezerowych wartości
* są ''sumowalne'' w ''<math>p''</math>-tej potędze, tzn. dla każdej funkcji ''<math>f</math>'' tej przestrzeni oraz dla ''<math>p \in [0, \infty)</math>'' liczba
: <math>\|f\|_p = \left(\sum_{i\in X} \biglbig|f(i)\bigrbig|^p \right)^\frac{1}{p}</math>
 
jest liczbą skończoną (przy czym sumowanie przebiega po miejscach niezerowych funkcji).
* mają wartości [[skalar (matematyka)|skalarne]]
* przyjmują co najwyżej [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wiele]] niezerowych wartości
* są ''sumowalne'' w ''p''-tej potędze, tzn. dla każdej funkcji ''<math>f</math>'' tej przestrzeni oraz dla ''<math>p \in [0, \infty)</math>''liczba
 
Z definicji widać, że na zbiorze <math>X\,</math> określona została miara licząca.
:<math>\|f\|_p = \left(\sum_{i\in X} \bigl|f(i)\bigr|^p \right)^\frac{1}{p}</math>
 
Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem ''<math>\ell_p(X)</math>'' i czyta się: przestrzeń funkcyjna funkcji sumowalnych w ''<math>p</math>''-tej potędze, określonych na zbiorze <math>X\,.</math>.
jest liczbą skończoną (przy czym sumowanie przebiega po miejscach niezerowych funkcji).
 
Z definicji widać, że na zbiorze <math>X\,</math>określona została miara licząca.
 
Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem ''<math>\ell_p(X)</math>'' i czyta się: przestrzeń funkcyjna funkcji sumowalnych w ''<math>p</math>''-tej potędze, określonych na zbiorze <math>X\,</math>.
 
== Twierdzenia ==
'''Tw. 1''' Przestrzenie ''<math>\ell_p(X)</math>'' są szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnych ''<math>L_p(X, \mu), \,\,p\in[0, \infty)\,</math> z dowolną miarą <math>\mu</math>''.
'''Tw. 2''' Przestrzeń ''<math>\ell_p(X)\,</math>''jest:
 
'''Tw. 2''' Przestrzeń ''<math>\ell_p(X)\,</math>'' jest:
* [[Przestrzeń unormowana|przestrzenią unormowaną]], przy czym norma zadana jest wzorem
*: <math>\|f\|_p = \left(\sum_{i\in X} \biglbig|f(i)\bigrbig|^p \right)^\frac{1}{p},</math>
* [[przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], z metryką generowaną przez normę, tj.
*: <math>d(f,g)=\|f-g\|_p = \left(\sum_{i\in X} \biglbig|f(i)-g(i)\bigrbig|^p \right)^\frac{1}{p},</math>
* przestrzenią metryczną [[przestrzeń zupełna|zupełna]], czyli [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]].
 
'''Tw. 3:''' Przestrzenie ''<math>\ell_p(X)\,</math>'' są [[przestrzeń refleksywna|refleksywne]] wtedy i tylko wtedy, gdy ''<math>p \in (1, \infty).</math>''.
 
'''Tw. 4 (o izometrycznym izomorfizmie)'''
 
Niech ''<math>p \in [1, \infty)\,</math>'', niech ''<math>q</math>'' będzie [[wykładniki sprzężone|wykładnikem sprzężonym]] do ''<math>p.</math>''. Istnieje wówczas [[izometria|izometryczny]] [[izomorfizm]]
: <math>\biglbig(\ell_p(X)\bigrbig)^* \cong \ell_q(X)</math>
 
:<math>\bigl(\ell_p(X)\bigr)^* \cong \ell_q(X)</math>
 
wprowadzany przez standardowe [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|parowanie]]
: <math>\langle f, g\rangle = \sum_{i\in X}f(i)g(i),</math>
 
gdzie oraz ''<math>g \in \ell_p(X)\,</math>''.
 
[[Kategoria:Miary (teoria miary)|Licząca]]