Przestrzeń metryzowalna: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Dodano definicję przestrzeni niemetryzowalnej.
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Przestrzeń metryzowalna''' – [[przestrzeń topologiczna]], w której można określić [[przestrzeń metryczna|strukturę metryczną]], czyli wprowadzić [[przestrzeń metryczna|metrykę]] wyznaczającą [[przestrzeń topologiczna|topologię]] tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same [[niezmiennik topologiczny|własności topologiczne]] co przestrzenie metryczne<ref group="uwaga">Wynika to stąd, iż [[Funkcja tożsamościowa|odwzorowanie tożsamościowe]] jest [[homeomorfizm]]em.</ref>; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest [[przestrzeń parazwarta|parazwartą]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]] (a więc również [[przestrzeń T4|normalna]]), a także spełnia [[aksjomaty przeliczalności|pierwszy aksjomat przeliczalności]].
 
Przestrzeń topologiczną, w której nie da się wprowadzić metryki, nazywa się '''przestrzenią niemetryzowalną'''.
 
== Twierdzenia o metryzacji ==
Pod nazwą ''twierdzenie o metryzacji'' rozumie się każde twierdzenie dające [[warunek wystarczający|warunki wystarczające]] na to, by dana przestrzeń topologiczna była metryzowalna. Jednym z pierwszych twierdzeń tego typu były wyniki [[PawełPawieł Urysohn|Pawła Urysohna]] mówiące, że:
* [[Przestrzeń zwarta]] [[przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]] jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia [[aksjomaty przeliczalności|drugi aksjomat przeliczalności]].
* Przestrzeń spełniająca [[aksjomaty przeliczalności|drugi aksjomat przeliczalności]] jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[przestrzeń regularna|regularną]] przestrzenią Hausdorffa.
Pierwsze z powyższych twierdzeń zostało udowodnione w 1924 roku<ref>[[PawełPawieł Urysohn|Urysohn, Paweł]]: ''Über die Metrisation der kompakten topologischen Räume'', Math. Ann. 92 (1924), sss. 275-293275–293.</ref>, drugie – rok później w przypadku przestrzeni normalnych<ref>[[PawełPawieł Urysohn|Urysohn, Paweł]]: ''Zum Metrisationproblem''. Math. Ann. 94 (1925). sss. 309-315309–315.</ref>. Twierdzenie w podanej tutaj wersji udowodnił [[Andriej Tichonow]] w 1926 roku<ref>[[Andriej Tichonow|Tichonow, Andriej]]: ''Über einen Metrisationssatz von P. Urysohn''. Math. Ann. vol. 95 (1926) sss. 139-142139–142.</ref>.
Wnioskiem z obydwu powyższych twierdzeń jest następujący fakt:
* [[Kostka Tichonowa|Kostka Hilberta]] jest [[przestrzeń uniwersalna|przestrzenią uniwersalną]] dla przestrzeni uniwersalnych [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowych]] i dla przestrzeni metryzowalnych zwartych.
 
Jednym z klasycznych twierdzeń metryzacyjnych jest [[twierdzenie Nagaty-Smirnowa]]<ref>Nagata J.: ''On a necessary and sufficient condition of metrizability'', J. Inst. Poly. Osaka City Univ. 1 (1950), sss. 93-10093–100.</ref><ref>Smirnow Jurij: ''On metrization of topological spaces'', Uspekhi. Matem. Nauk 6 (1951). sss. 100-111100–111.</ref>m które mówi, że:
* Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[przestrzeń regularna|regularna]] i ma [[rodzina lokalnie skończona|σ-lokalnie skończoną]] [[bazaBaza (topologia)przestrzeni topologicznej|bazę]].
Wzmocnieniem twierdzenia Nagaty-Smirnowa jest [[twierdzenie Binga]]<ref>Bing R.H.: ''Metrization of topological spaces'' Canad. J. Math., 3 (1951) sss. 175–186.</ref> (nazywane czasem twierdzeniem Nagaty-Binga-Smirnowa) mówiące, że:
* Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma [[bazaBaza (topologia)przestrzeni topologicznej|bazę]] [[rodzina lokalnie skończona|σ-dyskretną]].
Korzystając z twierdzenia Binga można dowieść twierdzenia Kowalsky'egoKowalsky’ego:
* [[Iloczyn kartezjański]] przeliczalnie wielu kopii [[jeż (topologia)|jeża]] <math>\scriptstyle J(\kappa)</math> jest [[przestrzeń uniwersalna|przestrzenią uniwersalną]] dla przestrzeni metryzowalnych o [[ciężarBaza przestrzeni topologicznej|ciężarze]] <math>\scriptstyle \kappa</math><ref>Swardson, M. A.: ''A short proof of Kowalsky'sKowalsky’s hedgehog theorem'', "[[Proceedings of the American Mathematical Society]]" 75 (1979). s. 188. [http://www.ams.org/journals/proc/1979-075-01/S0002-9939-1979-0529240-7/S0002-9939-1979-0529240-7.pdf].</ref>.
 
Przestrzeń topologiczną nazywa się '''lokalnie metryzowalną''', jeśli każdy jej punkt ma metryzowalne [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]]. Smirnow dowiódł, że przestrzeń lokalnie metryzowalna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffa i [[przestrzeń parazwarta|parazwarta]]; w szczególności [[rozmaitość topologiczna|rozmaitość]] jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.
 
Innymi przykładami twierdzeń o metryzacji są m.in. [[twierdzenie Archangielskiego]], [[twierdzenie Moore'a o metryzacji|twierdzenie Moore'aMoore’a]] czy [[twierdzenie Aleksandrowa-Urysohna]].
 
== Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych ==
Każda przestrzeń metryczna jest [[przestrzeń T4|normalna]] więc, przestrzenie które nie są normalne nie są tym samym metryzowalne.
* [[Prosta Sorgenfreya]] nie jest metryzowalna; jednak jest ona [[przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]], [[przestrzeń parazwarta|parazwarta]] i spełnia [[aksjomaty przeliczalności|pierwszy aksjomat przeliczalności]].
* [[Prosta Aleksandrowa]] jest lokalnie metryzowalna, ale nie jest metryzowalna.
* [[przestrzeń liniowo-topologiczna]] wszystkich [[funkcja|funkcji]] <math>\scriptstyle \mathbb R \to \mathbb R</math> z [[zbieżność punktowa|topologią zbieżności punktowej]]<ref group="uwaga">Topologia ta pokrywa się z [[topologia produktowa|topologią Tichonowa]] w produkcie <math>\scriptstyle \mathbb{R^R}.</math></ref> (zob. [[przestrzeń funkcyjna]]).
* [[Spektrum pierścienia|topologia Zariskiego]] na [[rozmaitość algebraiczna|rozmaitości algebraicznej]] lub na [[spektrum pierścienia]] (pojęcie [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]]) – przestrzeń z topologią Zariskiego nie jest nawet [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]], więc nie może być metryzowalna.
 
== Uwagi ==
Linia 36:
{{Przypisy}}
 
[[Kategoria:Przestrzeń metryczna|! ]]