Przestrzeń metryzowalna: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano definicję przestrzeni niemetryzowalnej. |
|||
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Przestrzeń metryzowalna''' – [[przestrzeń topologiczna]], w której można określić [[przestrzeń metryczna|strukturę metryczną]], czyli wprowadzić [[przestrzeń metryczna|metrykę]] wyznaczającą [[przestrzeń topologiczna|topologię]] tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same [[niezmiennik topologiczny|własności topologiczne]] co przestrzenie metryczne<ref group="uwaga">Wynika to stąd, iż [[Funkcja tożsamościowa|odwzorowanie tożsamościowe]] jest [[homeomorfizm]]em.</ref>; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest [[przestrzeń parazwarta|parazwartą]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]] (a więc również [[przestrzeń T4|normalna]]), a także spełnia [[aksjomaty przeliczalności|pierwszy aksjomat przeliczalności]].
Przestrzeń topologiczną, w której nie da się wprowadzić metryki, nazywa się '''przestrzenią niemetryzowalną'''.
== Twierdzenia o metryzacji ==
Pod nazwą ''twierdzenie o metryzacji'' rozumie się każde twierdzenie dające [[warunek wystarczający|warunki wystarczające]] na to, by dana przestrzeń topologiczna była metryzowalna. Jednym z pierwszych twierdzeń tego typu były wyniki [[
* [[Przestrzeń zwarta]] [[przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]] jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia [[aksjomaty przeliczalności|drugi aksjomat przeliczalności]].
* Przestrzeń spełniająca [[aksjomaty przeliczalności|drugi aksjomat przeliczalności]] jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[przestrzeń regularna|regularną]] przestrzenią Hausdorffa.
Pierwsze z powyższych twierdzeń zostało udowodnione w 1924 roku<ref>[[
Wnioskiem z obydwu powyższych twierdzeń jest następujący fakt:
* [[Kostka Tichonowa|Kostka Hilberta]] jest [[przestrzeń uniwersalna|przestrzenią uniwersalną]] dla przestrzeni uniwersalnych [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowych]] i dla przestrzeni metryzowalnych zwartych.
Jednym z klasycznych twierdzeń metryzacyjnych jest [[twierdzenie Nagaty-Smirnowa]]<ref>Nagata J.: ''On a necessary and sufficient condition of metrizability'', J. Inst. Poly. Osaka City Univ. 1 (1950),
* Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[przestrzeń regularna|regularna]] i ma [[rodzina lokalnie skończona|σ-lokalnie skończoną]] [[
Wzmocnieniem twierdzenia Nagaty-Smirnowa jest [[twierdzenie Binga]]<ref>Bing R.H.: ''Metrization of topological spaces'' Canad. J. Math., 3 (1951)
* Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma [[
Korzystając z twierdzenia Binga można dowieść twierdzenia
* [[Iloczyn kartezjański]] przeliczalnie wielu kopii [[jeż (topologia)|jeża]] <math>
Przestrzeń topologiczną nazywa się '''lokalnie metryzowalną''', jeśli każdy jej punkt ma metryzowalne [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]]. Smirnow dowiódł, że przestrzeń lokalnie metryzowalna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffa i [[przestrzeń parazwarta|parazwarta]]; w szczególności [[rozmaitość topologiczna|rozmaitość]] jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.
Innymi przykładami twierdzeń o metryzacji są m.in. [[twierdzenie Archangielskiego]], [[twierdzenie Moore'a o metryzacji|twierdzenie
== Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych ==
Każda przestrzeń metryczna jest [[przestrzeń T4|normalna]] więc, przestrzenie które nie są normalne nie są tym samym metryzowalne.
* [[Prosta Sorgenfreya]] nie jest metryzowalna; jednak jest ona [[przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]], [[przestrzeń parazwarta|parazwarta]] i spełnia [[aksjomaty przeliczalności|pierwszy aksjomat przeliczalności]].
* [[Prosta Aleksandrowa]] jest lokalnie metryzowalna, ale nie jest metryzowalna.
* [[przestrzeń liniowo-topologiczna]] wszystkich [[funkcja|funkcji]] <math>
* [[Spektrum pierścienia|topologia Zariskiego]] na [[rozmaitość algebraiczna|rozmaitości algebraicznej]] lub na [[spektrum pierścienia]] (pojęcie [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]]) – przestrzeń z topologią Zariskiego nie jest nawet [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]], więc nie może być metryzowalna.
== Uwagi ==
Linia 36:
{{Przypisy}}
[[Kategoria:Przestrzeń metryczna|
|