Funkcja dzeta Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 7 bajtów ,  2 lata temu
m
(→‎Niektóre wartości: Poprawiono literówkę)
Znaczniki: Z internetu mobilnego Z aplikacji mobilnej Z aplikacji Android
m (WP:SK+Bn)
{{Funkcje matematyczne}}
'''Funkcja ζ '''(dzeta)''' Riemanna''' – [[funkcje specjalne|funkcja specjalna]] zdefiniowana jako [[przedłużenie analityczne]] poniższej sumy:
: <math>{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z.</math>
 
[[Szereg (matematyka)|Szereg]] ten jest zbieżny dla takich <math>z,</math>, których [[Liczby zespolone|część rzeczywista]] jest większa od 1.
: <math>{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z</math>
 
Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie [[liczby zespolone]], poza <math>z=1.</math>. Przyjmuje ona wtedy postać:
[[Szereg (matematyka)|Szereg]] ten jest zbieżny dla takich <math>z</math>, których [[Liczby zespolone|część rzeczywista]] jest większa od 1.
: <math>{\zeta}( z ) = \frac{1}{1-2^{1-z}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k = 0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (k+1)^{-z} .</math>
 
Za pomocą metod analizy matematycznej sumę tę daje się rozszerzyć na wszystkie [[liczby zespolone]], poza <math>z=1</math>. Przyjmuje ona wtedy postać:
 
: <math>{\zeta}( z ) = \frac{1}{1-2^{1-z}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k = 0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (k+1)^{-z} </math>
 
Aby znaleźć wartość funkcji dzeta dla <math>z</math> o części rzeczywistej mniejszej od 1, można posłużyć się również wzorem rekurencyjnym:
: <math>{\zeta}( z ) = 2^z \pi^{z-1} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z ),</math>
 
: <math>{\zeta}( z ) = 2^z \pi^{z-1} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z )</math>
 
gdzie <math>\Gamma</math> to [[funkcja Γ]] (gamma) Eulera.
=== Dziedzina liczb zespolonych ===
Wykres funkcji ζ(''z'') na [[płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] uzyskany [[Technika kolorowania dziedziny|techniką kolorowania dziedziny]].
 
[[Plik:Complex zeta.jpg|570px]]
 
== Ważne wzory związane z funkcją ζ ==
Związek funkcji dzeta z [[Liczba pierwsza|liczbami pierwszymi]] (dla <math>Re(z)>1</math>):
: <math>{\zeta}( z ) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-z}},</math>
 
: <math>{\zeta}( z ) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-z}}</math>
 
gdzie <math>p</math> oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.
 
Związek z [[Liczby Bernoulliego|liczbami Bernoulliego]]:
: <math>{\zeta}( 2n ) = \left(-1\right)^{n+1} \frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!},</math>
 
dla każdej liczby parzystej dodatniej <math>2n,</math>, gdzie <math>B_k</math> to <math>k</math>-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych <math>-n{:}</math>:
: <math>{\zeta}( 2n ) = \left(-1\right)^{n+1} \frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}</math>
: <math>{\zeta}( -n ) = -\frac{B_{n+1}}{n+1}.</math>
 
dla każdej liczby parzystej dodatniej <math>2n</math>, gdzie <math>B_k</math> to <math>k</math>-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych <math>-n</math>:
 
: <math>{\zeta}( -n ) = -\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>
 
Zatem funkcja ζ przyjmuje wartość 0 dla każdej ujemnej liczby parzystej.
 
Związki z funkcjami teorioliczbowymi:
: <math>\ln \zeta(z)=z\int_2^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^z-1)}dx,</math>
 
gdzie <math>\taupi(nx)</math> to [[funkcja τπ]] (taupi), określająca liczbę dzielnikówliczb liczbypierwszych nie większych od <math>nx</math>.
: <math>\ln \zeta(z)=z\int_2^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^z-1)}dx</math>
: <math>\zeta^2(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\tau(n)}{n^z},</math>
 
gdzie <math>\pitau(xn)</math> to [[funkcja πτ]] (pitau), określająca liczbę liczbdzielników pierwszych nie większych odliczby <math>xn.</math>.
 
: <math>\zeta^2(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\tau(n)}{n^z}</math>
 
gdzie <math>\tau(n)</math> to [[funkcja τ]] (tau), określająca liczbę dzielników liczby <math>n</math>.
 
== Niektóre wartości ==
[[Plik:Riemann zeta-function x greater 1.png|right|thumb|260px|Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1]]
: <math>\zeta(-1) =\infininfty</math>
 
: lub
:<math>\zeta(-1) =\infin</math>
: <math>\zeta(-1) = -\frac{1}{12} \approx -0{,}0833333</math>
:'''lub'''
:<math>\zeta(-1) = -\frac{1}{12} \approx -0{,}0833333</math>
 
: <math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449341</math>
: <math>\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} + \ldots = \frac{\pi^{10}}{93555} \approx 1{,}0009946</math>
 
Ogólnie, dla <math>p\in\mathbb{N},</math>, mamy:
: <math>\zeta(2p) = \frac{(-1)^{p+1} \cdot B_{2p} \cdot (2\pi)^{2p}}{2 \cdot (2p){!}},</math>
 
gdzie <math>B_{2p}</math> to [[Liczby Bernoulliego|liczba Bernoulliego]] z indeksem <math>2p.</math>.
 
== Zobacz też ==
* [[Funkcja η|funkcja eta Dirichleta]]
* [[regularyzacja funkcją dzeta]]