Wersja z 20:12, 21 sty 2018 edytuj Paweł Ziemian BOT (dyskusja \| edycje) Boty 1 384 060 edycji m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy ← poprzednia edycja		Wersja z 14:33, 6 lut 2019 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 021 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: '''Szereg Grandiego''' – [[szereg naprzemienny]] ~~'''~~<math>1 − -1 + 1 − -1 + ~~…'''~~\dots</math> zapisywany również jako : <math>\sum_{n=0}^{\~~infin}~~infty (-1)^n</math> Nazwa szeregu pochodzi od [[Guido Grandi]]ego, który „upamiętnił” swoje przemyślenia na ten temat w 1703 roku. Jest to szereg rozbieżny, to znaczy, że jego suma nie istnieje według definicji. Z drugiej strony [[Sumowalność metodą Cesàro\|sumowanie metodą Cesàro]] daje wynik 1/2. Linia 8: Grandi próbował grupować sąsiednie wyrazy szeregu, aby znaleźć rozwiązania cząstkowe : <math>(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0 + 0 + 0 + \dots = 0.</math>. Z drugiej strony, podobna procedura rozmieszczania nawiasów prowadzi do zupełnie innego wyniku: : <math>1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \dots = 1 + 0 + 0 + 0 + \dots = 1.</math>. Stąd wynika, że w zależności od umieszczenia nawiasów w szeregu, ostateczny wynik może przyjąć jedną z dwóch „wartości”: 0 lub 1. Stosując przekształcenie podobne do tych, jakie są stosowane dla zbieżnych [[Szereg geometryczny\|szeregów geometrycznych]], można uzyskać trzecią wartość: : <math>S = 1 - 1 + 1 - 1 + \~~ldots~~dots,</math>, czyli : <math>1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + \ldots) = 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = S,</math>, która w wyniku daje <math>S = \tfrac12.</math>. Do tego samego wyniku można dojść obliczając <math>-S,</math>, odejmując wynik od <math>S</math> i rozwiązując <math>2S=1</math>{{odn\|Devlin\|1994\|s=77}}. Powyższe przekształcenie nie rozważa, co taka suma właściwie oznacza. Na podstawie wszystkich powyższych metod można wyciągnąć dwa następujące wnioski: * ~~Szereg~~szereg <math>1 - 1 + 1 - 1 + \ldots</math> nie ma sumy{{odn\|Devlin\|1994\|s=77}}{{odn\|Devlin\|1994\|s=152}} * ..., ale jego suma „powinna” wynosić <math>\tfrac12</math>{{odn\|Devlin\|1994\|s=152}}. W rzeczywistości oba te twierdzenia można dokładnie i formalnie udowodnić, ale tylko dzięki dobrze zdefiniowanym matematycznym koncepcjom, które powstały w XIX wieku. Zanim to nastąpiło, odpowiedzi na te pytania były „niekończącymi się” i „gwałtownymi” dyskusjami między matematykami{{odn\|Kline\|1983\|s=307}}{{odn\|Knopp\|1990\|s=457}}. == Zobacz też == * [[~~Szereg~~szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …]] == Przypisy == Linia 33: == Bibliografia == * {{Cytuj \| autor=Harry F. Davis \| tytuł=Fourier Series and Orthogonal Functions \| data=maj 1989 \| wydawca=Dover \| isbn=0-486-65973-9 \| język=en}} * {{Cytuj \| autor=Keith Devlin \| tytuł=Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe \| data=1994 \| wydawca=Scientific American Library \| isbn=0-7167-6022-3 \| odn=tak}} * {{Cytuj \| autor=Morris Kline \| tytuł=Euler and Infinite Series \| czasopismo=Mathematics Magazine \| wydanie=56 (5) \| data=listopad 1983 \| s=307–314 \| doi=10.2307/2690371 \| id=JSTOR [http://www.jstor.org/stable/2690371 2690371] \| odn=tak}} * {{Cytuj \| autor=Konrad Knopp \| tytuł=Theory and Application of Infinite Series \| data=1990 [1922] \| wydawca=Dover \| isbn=0-486-66165-2 \| odn=tak }} [[Kategoria:Szeregi\|Grandiego]]

Szereg Grandiego: Różnice pomiędzy wersjami