Iloczyn diadyczny: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne techniczne |
|||
Linia 1:
'''Iloczyn diadyczny'''
: <math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
Linia 9 ⟶ 10:
\end{bmatrix}</math>
Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem ''[[Iloczyn Kroneckera|iloczynu tensorowego]] wektorów (''gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej
== Definicja ogólna ==
Jeżeli dane są:
(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej <math>\{\mathbf{e}_i, i=1,\dots, n\}</math>
(2) odpowiadająca jej baza <math>\{\mathbf{e}_i^T, i=1,\dots, n\}</math> wektorów wierszowych
(3) wektory <math>\mathbf{u},\mathbf{v}</math> zapisane w tych bazach
: <math>\mathbf{u}
= \
= \
to iloczyn diadyczny <math>\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}</math> ma postać
: <math>\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}^T
= \sum_{i,j=1}^n u_i v_j\, \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j^T,</math>
gdzie <math>
Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy <math>
: <math>
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
Linia 40 ⟶ 41:
'''Tw.''' Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu
: <math>\operatorname{tr}(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T) = \mathbf{v}^T\cdot
Przykład: Niech będą dane wektory
: <math>\mathbf{u}^T =[1,2,3],</math>
Ich iloczyn diadyczny wynosi
: <math>
0 & 3 & 1 \\
0 & 6 & 2 \\
Linia 52 ⟶ 53:
\end{bmatrix}</math>
oraz [[Ślad (algebra liniowa)|ślad macierzy]] wynosi
: <math>\operatorname{tr}(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T) = 9</math>
: <math>\mathbf{v}^T \cdot
= \begin{bmatrix} 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 1 \\
== Nieprzemienność iloczynu diadycznego ==
Przykład: Niech będą dane wektory
: <math>\mathbf{u}^T =[1,2,3],</math>
Ich iloczyn diadyczny <math>\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}^T</math> wynosi
: <math>\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}^T
= \begin{bmatrix} 0 \\
\otimes \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
Linia 74 ⟶ 75:
\end{bmatrix}</math>
Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym
: <math>\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}^T
\ne \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T.</math>
Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.
Linia 86 ⟶ 87:
== Bibliografia ==
* Guściora H., Sadowski M., ''Repetytorium z algebry liniowej'', PWN, Warszawa 1979
[[Kategoria:Algebra liniowa]]
|