Iloczyn diadyczny: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m drobne techniczne
Linia 1:
'''Iloczyn diadyczny''' - to iloczyn [[wektor]]a (kolumnowego) <math>\mathbf{u}</math> z wektorem (wierszowym) <math>\mathbf{v}^T</math> tego samego wymiaru, dający [[tensor]] 2-go rzędu, np.
: <math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
u_3 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
Linia 9 ⟶ 10:
\end{bmatrix}</math>
 
Iloczyn diadyczny jest szczególnym przypadkiem ''[[Iloczyn Kroneckera|iloczynu tensorowego]] wektorów (''gdzie wymiary wektorów nie muszą być równe, a wektory mogą być dowolnego typu, np. 2 wektory kolumnowe lub 2 wierszowe) lub ogólniej - ''iloczynu tensorowego macierzy.''
 
== Definicja ogólna ==
Jeżeli dane są:
 
(1) baza wektorów kolumnowych przestrzeni wektorowej <math>\{\mathbf{e}_i, i=1,\dots, n\}</math>
 
(2) odpowiadająca jej baza <math>\{\mathbf{e}_i^T, i=1,\dots, n\}</math> wektorów wierszowych
 
(3) wektory <math>\mathbf{u},\mathbf{v}</math> zapisane w tych bazach
: <math>\mathbf{u}
= \sum_{i}sum_i^n u_i \mathbf{e}_i,\quad{}</math>, <math>\mathbf{v}^T
= \sum_{j}sum_j^n v_j \mathbf{e}_i^T,</math>
 
to iloczyn diadyczny <math>\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}</math> ma postać
: <math>\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}^T
= \sum_{i,j=1}^n u_i v_j\, \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j^T,</math>
 
gdzie <math> \mathbf{E_{ij}}=\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j^T</math> - [[macierz]] wymiaru <math> n \times n,</math>, której element <math> E_{ij}=1,</math>, a pozostałe elementy są równe zeru. Macierze te stanowią '''bazę tensora''', tzn. dowolny tensor rzędu 2-go można wyrazić jako kombinację liniową tych macierzy bazowych.
 
Np. dla przestrzeni wektorowej 3-wymiarowej mamy 9 macierzy <math> \mathbf{E_{ij}}, i,j=1,2,3,</math>, np.
: <math> \mathbf{E_{12}} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
Linia 40 ⟶ 41:
 
'''Tw.''' Ślad iloczynu diadycznego wektorów jest równy ich iloczynowi skalarnemu
: <math>\operatorname{tr}(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T) = \mathbf{v}^T\cdot \mathbf{u}.</math>
 
Przykład: Niech będą dane wektory
: <math>\mathbf{u}^T =[1,2,3],</math>, <math>\mathbf{v}^T =[0,3,1].</math>
 
Ich iloczyn diadyczny wynosi
: <math> \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & 3 & 1 \\
0 & 6 & 2 \\
Linia 52 ⟶ 53:
\end{bmatrix}</math>
 
oraz [[Ślad (algebra liniowa)|ślad macierzy]] wynosi
: <math>\operatorname{tr}(\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T) = 9</math>
 
- i jest on równy iloczynowi skalarnemu wektorów <math>\mathbf{u}, \mathbf{v},</math>, gdyż
: <math>\mathbf{v}^T \cdot \mathbf{u}
= \begin{bmatrix} 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = 9</math>
 
== Nieprzemienność iloczynu diadycznego ==
Przykład: Niech będą dane wektory
: <math>\mathbf{u}^T =[1,2,3],</math>, <math>\mathbf{v}^T =[0,3,1].</math>
 
Ich iloczyn diadyczny <math>\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}^T</math> wynosi
: <math>\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}^T
= \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}
\otimes \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
Linia 74 ⟶ 75:
\end{bmatrix}</math>
 
Porównując powyższy wynik z iloczynem diadycznym wz wcześniejszego rozdziału, widać, że iloczyn diadyczny nie jest przemienny
: <math>\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}^T
\ne \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}^T.</math>
 
Tylko w szczególnych przypadkach może zachodzić przemienność iloczynu diadycznego.
Linia 86 ⟶ 87:
 
== Bibliografia ==
* Guściora H., Sadowski M., ''Repetytorium z algebry liniowej'', PWN, Warszawa 1979 r.
 
[[Kategoria:Algebra liniowa]]