Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Wycofano ostatnią zmianę treści (wprowadzoną przez 178.235.178.187) i przywrócono wersję 53993848 autorstwa Paweł Ziemian |
→Rozbieżność szeregu harmonicznego: +Pietro Mengoli |
||
Linia 15:
: <math>> 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots</math>.
Ponieważ suma liczb w każdym nawiasie wynosi ½, ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy skończonej{{odn|Fichtenholz|1966|s=226}}.
=== Dowód Pietra Mengolego ===
W 1650 w pracy ''{{j|la|Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum}}'' dowód rozbieżności podał [[Pietro Mengoli]]<ref>{{Cytuj | autor=Krzysztof Maślanka | tytuł=Pietro Mengoli i szeregi liczbowe | czasopismo=Kwartalnik Historii Nauki i Techniki | data=2004 | wolumin=49 | numer=1 | s=47-64 | url=http://bazhum.muzhp.pl/media//files/Kwartalnik_Historii_Nauki_i_Techniki/Kwartalnik_Historii_Nauki_i_Techniki-r2004-t49-n1/Kwartalnik_Historii_Nauki_i_Techniki-r2004-t49-n1-s47-64/Kwartalnik_Historii_Nauki_i_Techniki-r2004-t49-n1-s47-64.pdf | data dostępu=2019-02-08 | język=pl}}</ref>.
Grupując wyrazy bez początkowej jedynki po trzy stwierdził, że
: <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > 1</math>
: <math>\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} > \frac{1}{2}</math>
: <math>\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10} > \frac{1}{3}</math>
: <math>\vdots</math>
Czyli ostatecznie otrzymał liczbę większą niż jeden plus powtórzony pełny szereg harmoniczny. Proces ten można wykonywać dowolną liczbę razy aby uzyskać liczbę o dowolnie dużej wartości.
===Dowód Bradleya===
| |||