Zmienna (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 31 bajtów ,  3 lata temu
m
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
(→‎Przykłady: 3x - 1 = 3 to równianie, a 3x - 1 to wyrażenie)
m (WP:SK+Bn)
W [[logika|logice]] zmienna, właściwie '''symbole zmienne''' stanowią drugi obok [[pojęcie pierwotne|symboli stałych]] typ znaków charakteryzujących alfabet języka teorii sformalizowanej.
 
Pojęcie zmiennej jest także fundamentalne w [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku różniczkowym i całkowym]]. Zazwyczaj, [[funkcja]] <math>y=f(x)</math> wiąże dwie zmienne, <math>y</math> i <math>x,</math>, reprezentujące odpowiednio wartość i [[Argument (matematyka)|argument]] funkcji. Termin "zmienna"„zmienna” pochodzi od faktu, że kiedy argument ''zmienia się'', to wartość również odpowiednio się ''zmienia''<ref>{{Cytuj stronę|url = http://cstl.syr.edu/fipse/Algebra/part4/append1.htm|tytuł = Appendix One Review of Constants and Variables|autor = Syracuse University|data dostępu = |opublikowany = cstl.syr.edu|język = en|archiwum = https://web.archive.org/web/20141010055901/http://cstl.syr.edu/fipse/Algebra/part4/append1.htm|zarchiwizowano = 2014-10-10|data dostępu =}}</ref>.
 
W [[Informatyka|informatyce]], [[Zmienna (informatyka)|zmienną]] określa się nazwę reprezentującą pewną wartość znajdującą się w pamięci komputera.
Pod koniec XVI wieku, [[François Viète]] wysunął ideę reprezentowania znanych liczb i niewiadomych za pośrednictwem liter, współcześnie nazywanych zmiennymi, i przeprowadzania na nich obliczeń na takich samych zasadach jak na liczbach, by ostateczny wynik otrzymać poprzez proste podstawienie. Viete używał spółgłoski dla znanych wartości, a samogłosek dla niewiadomych<ref>{{Cytuj książkę|nazwisko = Fraleigh|imię = John B.|tytuł = A First Course in Abstract Algebra|rok = 1989|wydawca = Addison-Wesley|miejsce = Stany Zjednoczone|strony = 276|isbn = 0-201-52821-5|wydanie = IV|język = en}}</ref>.
 
W 1637 roku, [[René Descartes|Kartezjusz]] po raz pierwszy zastosował konwencję używania <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> dla niewiadomych, a <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> dla stałych. Nazewnictwo to, w przeciwieństwie do nazewnictwa Viete'aViete’a, jest wciąż powszechnie stosowane<ref name=":0" />.
 
Również w XVII wieku, [[Isaac Newton]] i [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibnitz]] niezależnie rozwinęli [[rachunek różniczkowy i całkowy]], który w zasadzie polega na rozważaniu, jak [[Nieskończenie małe|infinitezymalna]] zmiana ''zmiennej wielkości'' powoduje odpowiednią zmianę innej wielkości, która jest [[Funkcja|funkcją]] pierwszej zmiennej (wielkości)<ref>{{Cytuj stronę|tytuł = Calculus|url = http://www.math.tamu.edu/~dallen/history/calc1/calc1.html|opublikowanytytuł = www.math.tamu.edu|data dostępu = 2015-11-15Calculus|nazwisko = Allen|imię = Donald|opublikowany = www.math.tamu.edu|język = en|data = 1997-04-10|data dostępu = 2015-11-15}}</ref>. W XVIII wieku, [[Leonhard Euler]] usystematyzował notację rachunku różniczkowego i całkowego, wprowadzając notację <math>y=f(x)</math> dla funkcji <math>f,</math>, jej '''zmiennej''' <math>x</math> i wartości <math>y</math><ref>{{Cytuj książkę|nazwisko = Dunham|imię = William|tytuł = Euler: The Master of Us All|rok = 1999|wydawca = The Mathematical Association of America|miejsce = |strony = 17, 18|isbn = 978-0883853283|język = en}}</ref>. Do końca XIX wieku, słowo ''zmienna'' było używane praktycznie wyłącznie w kontekście [[Argument (matematyka)|argumentów]] i wartości funkcji.
 
W drugiej połowie XIX wieku, [[Karl Weierstrass]] zastąpił intuicyjne pojęcie [[Granica (matematyka)|granicy]] formalną definicją. Dawna intuicja brzmiała: "kiedy„kiedy ''zmienna'' <math>x</math> zmienia się i dąży do <math>x_0,</math>, to <math>f(x)</math> dąży do <math>g</math>". Weierstrass wprowadził precyzyjną definicję nie posługując się pojęciem "zmienności"„zmienności” i "dążenia"„dążenia”: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x}forall_x\; (|x - x_0| < \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon)</math><ref>{{Cytuj książkę|nazwisko = Russell|imię = Bertrand|tytuł = History of Western Philosophy|rok = 1946|wydawca = George Allen & Unwin Ltd|miejsce = Londyn|strony = [https://archive.org/stream/westernphilosoph035502mbp#page/n857/mode/2up 857]|isbn = 0-415-32505-6|autor link = Bertrand Russell|język = en|cytat = "The„The great mathematicians of the seventeenth century were optimistic and anxious for quick results; consequently they left the foundations of analytical geometry and the infinitesimal calculus insecure. Leibniz believed in actual infinitesimals, but although this belief suited his metaphysics it had no sound basis in mathematics. Weierstrass, soon after the middle of the nineteenth century, showed how to establish the calculus without infinitesimals, and thus at last made it logically securesecure”."}}</ref>.
 
To "statyczne"„statyczne” sformułowanie doprowadziło do współczesnego pojęcia zmiennej, jako symbolu reprezentującego [[Obiekt matematyczny|matematyczny obiekt]], który albo jest niewiadomy (np. w [[Równanie|równaniu]]), albo może być zastąpiony dowolnym elementem danego [[Zbiór|zbioru]] (np. we [[Wyrażenie algebraiczne|wzorze]]).
 
== Notacja ==
W matematyce zmienne zazwyczaj zapisuje się używając pojedynczej litery, często również z [[Indeks dolny|indeksem dolnym]], np. <math>x_2.</math>. Indeks ten może być liczbą, inną zmienną (<math>(x_i),</math>), słowem lub jego skrótem (<math>x_{wej}</math> lub <math>x_{wyj}</math>) czy [[Wyrażenie matematyczne|wyrażeniem matematycznym]]. Można też spotkać zmienne nazwane używając kilku liter i cyfr.
 
Według konwencji wprowadzonej przez [[René Descartes|Kartezjusza]] w XVII wieku, początkowe litery alfabetu, np. <math>a,</math>, <math>b,</math>, <math>c</math> używa się do nazwania znanych wartości, współczynników i parametrów, natomiast litery z końca, np. <math>x,</math>, <math>y,</math>, <math>z</math> oraz t - do określenia [[Niewiadoma|niewiadomych]] i zmiennych w funkcjach<ref name=":0">{{Cytuj książkę|nazwisko = Sorell|imię = Tom|tytuł = Descartes: A Very Short Introduction|url = http://www.veryshortintroductions.com/view/10.1093/actrade/9780192854094.001.0001/actrade-9780192854094|rok = 2000|wydawca = Oxford University Press|miejsce = Nowy Jork|strony = 19|isbn = |język = en|urldoi = http://www.veryshortintroductions.com/view/10.1093/actrade/9780192854094.001.0001/actrade-9780192854094|data dostępu = 2015-11-15|doi = 10.1093/actrade/9780192854094.001.0001}}</ref>.
 
Dla przykładu, ogólne równanie funkcji kwadratowej można zapisać następująco: <math>ax^2+bx+c,</math>, gdzie <math>a,</math>, <math>b</math> i <math>c</math> są współczynnikami (nazywanymi także stałymi, gdyż są [[Funkcja stała|funkcjami stałymi]]), a <math>x</math> jest zmienną funkcji.
 
Poszczególne gałęzie i zastosowania matematyki często mają też własne konwencje co do nazywania zmiennych. Zmienne o podobnych rolach i znaczeniach często są przypisane kolejnym literom alfabetu lub tej samej literze z różnymi indeksami. Przykładowo, trzy osie w trójwymiarowym [[Układ współrzędnych|układzie współrzędnych]], są zwyczajowo nazywane <math>x,</math>, <math>y,</math>, <math>z.</math>. W fizyce, nazwy zmiennych głównie zależą od [[Wielkość fizyczna|wielkości fizycznej]], którą opisują.
 
Poniżej znajdują się często spotykane konwencje:
{| class="wikitable"
|-
! scope="col" | Symbol !! scope="col" | Znaczenie
|-
| <math>a, b, c, d, ...</math> || współczynniki [[wielomian]]ów
|-
| <math>a_0, a_1, a_2, ...</math> || alternatywne oznaczenie kiedy ilość współczynników wymagałaby użycia zbyt dużej ilości różnych liter
|-
| <math>a_i, u_i</math> || <math>i</math>-ty wyraz [[Ciąg (matematyka)|ciągu]] lub [[Szereg (matematyka)|szeregu]]
| <math>n</math> || stała liczbę całkowitą, na przykład ilość obiektów lub stopień [[Równanie|równania]]
|-
| <math>m, n</math> || wymiary [[macierz]]y
|-
| <math>p</math> || [[Liczba pierwsza|liczbę pierwsza]] lub [[prawdopodobieństwo]]
| <math>t</math> || [[czas]]
|-
| <math>x, y, z</math> || trzy [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędne kartezjańskie]] punktu na [[Geometria euklidesowa|płaszczyźnie euklidesowej]], a także odpowiadające im [[Oś współrzędnych|osiom]], kolejne argumenty funkcji
|-
| <math>z</math> || [[Liczby zespolone|liczba zespolona]]
== Przykłady ==
* W równaniu <math>3x-1=3</math> symbol <math>x</math> jest zmienną. W zależności od sytuacji zmienna ta może przyjmować rozmaite wartości: [[Liczby rzeczywiste|rzeczywiste]], [[Liczby zespolone|zespolone]], [[wektor]]owe, [[Funkcja|funkcyjne]].
* We wzorze [[Isaac Newton|Newtona]] opisującym [[grawitacja|siłę przyciągania]] <math>F=\frac{Gm_1m_2}{r^2}</math> mamy zmienne <math>m_1,</math>, <math>m_2</math> i <math>r,</math>, które mogą przyjmować wartości rzeczywiste. Symbolem <math>G</math> oznaczono tutaj wielkość '''stałą'''.
 
== Zobacz też ==
{{wikisłownik|zmienna}}
* [[pojęcie pierwotne]]
* [[zmienne zależna i niezależna]]
* [[zmienna (informatyka)|zmienna w informatyce]]
* [[zmienne zależna i niezależna]]
 
== Przypisy ==