Dowód (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 9 bajtów ,  2 lata temu
m
(Redukuję zapis autora)
m (WP:SK+Bn)
== Metody dowodu ==
O ile nie istnieje żaden wyczerpujący podział dowodów, można wyróżnić niektóre metody używane w dowodach:
* '''[[Dowód wprost]]''' polegający na przyjęciu założeń i bezpośrednim wykazaniu tezy. Przykład: udowodnimy, że suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą. Wiemy, że liczby parzyste to takie, które można zapisać w postaci <math>2k,</math>, gdzie <math>k</math> jest całkowite; suma dwóch liczb parzystych wynosi <math>2k+2l=2(k+l),</math>, co jest również liczbą parzystą, c.n.d.
* '''[[Dowód nie wprost]]''' ('''dowód apagogiczny''') polegający na przyjęciu, że twierdzenie jest fałszywe i wykazaniu, że dochodzi się do niedorzeczności. Przykładem może być [[Pierwiastek kwadratowy z 2#Dowód niewymierności|dowód niewymierności pierwiastka z dwóch]]: załóżmy, że <math>\sqrt{2}</math> jest liczbą wymierną, jednak to założenie prowadzi do sprzeczności.
* '''Dowód kombinatoryczny''' to specyficzny rodzaj dowodu używany przy tożsamościach kombinatorycznych, zwykle polegający na policzeniu możliwości ustawień na dwa sposoby. Przykład: Udowodnimy, że dla <math>n,k \geqslant 1</math> zachodzi <math>\tbinom{n}{k}=\tbinom{n-1}{k} + \tbinom{n-1}{k-1}.</math>. Wyobraźmy sobie, że mamy wybrać <math>k</math> spośród <math>n</math> osób. Możemy to zrobić na <math>\tbinom{n}{k}</math> sposobów. Możemy wyróżnić jedną z osób, nazwijmy ją X. Jeżeli wybierzemy X-a, to pozostanie nam <math>\tbinom{n-1}{k-1}</math> sposobów na wybranie pozostałych osób. Jeżeli nie wybierzemy X-a, to pozostanie nam <math>\tbinom{n-1}{k}</math> sposobów. Te możliwości są wyczerpujące i rozłączne; zatem <math>\tbinom{n}{k}=\tbinom{n-1}{k} + \tbinom{n-1}{k-1}.</math>.
[[Plik:Pythagorean proof.svg|thumb|Geometryczny dowód twierdzenia Pitagorasa]]
* '''Dowód geometryczny''' polega na wykorzystaniu metod geometrii, takich jak przystawanie i podobieństwo figur. Dowody geometryczne mogą być wykorzystywane również poza geometrią (patrz [[Pierwiastek kwadratowy z 2#Dowód geometryczny|geometryczny dowód niewymierności pierwiastka z 2]])
* '''[[Indukcja matematyczna|Dowód indukcyjny]]''' to dowód wykorzystujący zasadę [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]].
* '''[[Metoda przekątniowa]]''' to rodzaj rozumowania używany w dowodach, że nie istnieje pewien obiekt. Przykłady twierdzeń, które można udowodnić w ten sposób: zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny, [[twierdzenie Cantora]], nierozwiązywalność [[problem stopu|problemu stopu]].
* Użycie wspomagania komputerowego, np. dowód [[twierdzenie o czterech barwach|twierdzenia o czterech barwach]]. Takie dowody wzbudzają kontrowersje, gdyż niemożliwe jest zweryfikowanie ich przez człowieka. Innym przykładem użycia komputerów jest rozproszony projekt [[Seventeen or Bust]] sprawdzający potencjalnych kandydatów na [[liczby Sierpińskiego]].
* '''Dowód niezależności''' to dowód, że pewnego zdania nie można udowodnić. Przykładem jest dowód niezależności [[hipoteza continuum|hipotezy continuum]], wykorzystujący [[forsing]].
* '''Dowód konstruktywny''' to dowód polegający na znalezieniu pewnego obiektu spełniającego wymagane założenia. Przykład: aby udowodnić, że wielomian <math>x^3-8</math> ma pierwiastek rzeczywisty, wystarczy zauważyć, że jest nim liczba 2. Aby udowodnić, że każdy graf spójny zawierający co najwyżej dwa wierzchołki stopnia nieparzystego ma [[łańcuch Eulera|drogę Eulera]], można podać algorytm znajdujący ją.
* '''[[Dowód niekonstruktywny]]''' to dowód polegający na wykazaniu, że istnieje obiekt spełniający założenia, jednak bez konstrukcji. Przykład: aby udowodnić, że wielomian <math>x^3-8</math> ma pierwiastek rzeczywisty, zauważmy, że przyjmuje on wartość ujemną dla <math>x=0</math> i dodatnią dla <math>x=100.</math>. Ponieważ <math>y=x^3-8</math> jest funkcją ciągłą, z [[twierdzenie Darboux#Twierdzenie Cauchy'ego|twierdzenia Cauchy'egoCauchy’ego]] wynika, że wielomian ma miejsce zerowe w przedziale <math>(0,100).</math>. Innym przykładem jest wykorzystanie [[zasada szufladkowa Dirichleta|zasady szufladkowej Dirichleta]].
* '''[[Dowód nieefektywny]]''' to dowód wykorzystujący [[aksjomat wyboru]].
 
== Rola dowodu matematycznego ==
Dowód matematyczny może przyjmować następujące role:
# rola '''weryfikacyjna''' (pozwala stwierdzić poprawność hipotezy)<ref name="ant">Anna K. Żeromska, ''Metodologia matematyki jako przedmiot badań antropomatematycznych'', Wydawnictwo Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie, Kraków 2013, s. 58.</ref>;
# rola '''wyjaśniająca''' (pozwala znaleźć powód dla którego dane twierdzenie jest prawdziwe)<ref name="ant" />;
# rola '''wyjaśniająca''' (pozwala uzyskać społeczną aprobatę)<ref name="ant" />;
# rola '''systemacyzacyjna''' (pozwala uporządkować różne wyniki zgodnie z systemem głównych pojęć i twierdzeń)<ref name="ant" />;
# rola '''komunikacyjna''' (pozwala przekazywać innym gotowe wyniki i obserwacje)<ref name="ant" />;
# rola '''estetyczna''' (pozwala dane rozumowanie zapisać w sposób elegancki i klarowny)<ref name="ant" />;
# rola '''satysfakcjonująca''' (pozwala odczuć satysfakcję, radość, dumę i uczucie odniesienia sukcesu po skutecznym przeprowadzeniu dowodu)<ref name="ant" />;
# rola '''transferowa''' (pozwala zachować techniki dowodowe, które mogą okazać się przydatne w dowodzeniu lub zrozumieniu innych twierdzeń)<ref name="ant" />.
 
== Dowód formalny ==
W teorii sformalizowanej dowód przyjmuje ścisłą formę tak zwanego '''dowodu formalnego''', który jest skończonym ciągiem wyrażeń <math>p_1,\,p_2,\ldotsdots,\,p_n</math> ustalonego [[język (logika)|języka]] sformalizowanego, takim że dla każdego <math> i=1,...,n: p_i </math> jest aksjomatem lub <math> p_i </math> jest wnioskiem z przesłanek <math> p_j, p_k </math> (gdzie <math> j,k<i </math>) wyprowadzonym przez zastosowanie przyjętej reguły [[Rozumowanie dedukcyjne|dedukcyjnej]].
 
Jeżeli dany ciąg <math> p_1, p_2, \dots, p_n </math> jest dowodem formalnym przy zbiorze aksjomatów <math> A, </math> to mówi się, że jest to dowód formalny dla <math> p_n </math> z <math> A </math> oraz że <math> p_n </math> da się dowieść z <math> A . </math>
 
== Zobacz też ==
 
== Linki zewnętrzne ==
* {{SEP | url = epistemology-visual-thinking/ | tytuł = The Epistemology of Visual Thinking in Mathematics | autor = Marcus Giaquinto | data = 2015-10-02 | data dostępu = 2018-08-07 }} – artykuł m.in. o dowodach graficznych
 
[[Kategoria:Dowody matematyczne| ]]