Wielokąt foremny: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 22 bajty ,  3 lata temu
m
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
m (Wycofano edycje użytkownika 79.186.154.151 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Modzelek.)
Znacznik: Wycofanie zmian
m (WP:SK+Bn)
[[Plik:Forymne wjelokůnty3.gif|thumb|Kolejne wielokąty foremne]]
'''Wielokąt foremny''' – [[wielokąt]], który ma wszystkie [[kąt]]y wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek ''zdegenerowany'', wyglądałby on jak zwykły [[odcinek]], a kąt między bokami wynosiłby <math>&nbsp;0^\circ\ </math>°.
 
Trójkąt foremny jest określany jako [[trójkąt równoboczny]], czworokąt foremny - jako [[kwadrat]].
 
Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk [[Carl Friedrich Gauss]], który w [[1801]] odkrył, że ''<math>n''</math>-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego [[cyrkiel|cyrkla]] i [[linijka|linijki]] (tzw. [[konstrukcje klasyczne]]) wtedy i tylko wtedy, gdy ''<math>n''</math> jest liczbą postaci <math>2^k p_1 p_2 \ldots p_s,</math> gdzie <math>p_1, p_2, \dots, p_s</math> są różnymi [[liczby Fermata|liczbami pierwszymi Fermata]]. Twierdzenie to jest dziś znane jako [[twierdzenie Gaussa-Wantzela]].
<math>2^k p_1 p_2 \ldots p_s,</math> gdzie <math>p_1,\ p_2,\ \ldots,\ p_s</math> są różnymi [[liczby Fermata|liczbami pierwszymi Fermata]]. Twierdzenie to jest dziś znane jako [[twierdzenie Gaussa-Wantzela]].
 
Wszystkie wielokąty foremne są [[Zbiór wypukły|figurami wypukłymi]]. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są [[podobieństwo|podobne]].
== Wzory ==
Przyjęte oznaczenia:
:- <math>n</math> – liczba boków wielokąta foremnego;,
:- <math>a</math> – długość jednego boku wielokąta.
 
* Wzór na miarę [[kąt wewnętrzny|kąta wewnętrznego]] (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:
*: <math>\gamma=\frac{\pi(n-2)}{n} \mathrm{ rad} \,\! = \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}.</math>
 
* Wzór na miarę [[kąt środkowy|kąta środkowego]] (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
*: <math>\beta=\frac{2\pi}{n} \mathrm{ rad} \,\!=\frac{360^\circ}{n}.</math>
 
* Wzór na [[promień (geometria)|promień]] [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]] na wielokącie foremnym:
*: <math>R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{csc}\frac{\pi}{n}.</math>
 
* Wzór na promień [[okrąg wpisany|okręgu wpisanego]] w wielokąt foremny:
*: <math>r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}.</math>
 
* Wzory na długość boku wielokąta foremnego:
*: <math>a=2\sqrtbegin{R^2-r^2align}</math>
a &= 2\sqrt{R^2-r^2} \\
*:: <math>=2R \sin \frac{\pi}{n}</math>
*:: <math>&=2r 2R \operatorname{tg}sin \frac{\pi}{n}</math> \\
*::&= 2r <math>{}=nr^2\operatorname{tg} \frac{\pi}{n}={}</math>.
\end{align}</math>
 
* Wzór na [[obwód (geometria)|obwód]] wielokąta foremnego:
*: <math>L=n \cdot a\,.</math>
 
* Wzory na [[pole powierzchni]] wielokąta foremnego:
: <math>\begin{align}
*: <math>S=\frac{1}{4}na^2\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}={}</math>
*::S <math>{}&= \frac{nar1}{4}na^2\operatorname{ctg}=\frac{\pi}</math>{n} \\
&= \frac{nar}{2} \\
*:: <math>{}=nr^2\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}={}</math>
*::&= <math>{}=nRnr^2\sinoperatorname{tg}\frac{\pi}{n} \cos\frac{\pi}{n}={}</math>
*:: <math>{}&= nR^2\sin\frac{1\pi}{2n}nR^2\sincos\frac{2\pi}{n}</math> \\
&= \frac{1}{2}nR^2\sin\frac{2\pi}{n}.
\end{align}</math>
 
* Wzór na długości [[przekątna|przekątnych]] wielokąta foremnego:
*: <math>d_k=\frac{a\sin\frac{(k+1)\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}},</math>
*:gdzie <math>k\in\mathbb{N},\ 1\le k\le n-3\,</math>
 
*: gdzie <math>k\in\mathbb{N},\ 1\leleqslant k\leleqslant n-3\,.</math>
*Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)
 
*: <math>\gamma=\frac{\pi}{n} \mathrm{ rad} \,\!=\frac{180^\circ}{n}</math>
* Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)
*: <math>S\gamma=\frac{1\pi}{4n}na^2 \operatornamemathrm{ctg rad} \,\!=\frac{180^\picirc}{n}={}.</math>
 
== Tabela wielokątów foremnych ==
! [[Konstrukcje klasyczne|Konstruowalny<br />cyrklem i linijką?]]
|-
|align="center"| [[Trójkąt równoboczny]]
|align="center"| [[Plik:Regular triangle.svg|40px]]
|align="center"| 3
|align="center"| <math>60^\circ \ </math>
|align="center"| tak
|-
|align="center"| [[Kwadrat]]
|align="center"| [[Plik:Regular quadrilateral.svg|40px]]
|align="center"| 4
|align="center"| <math>90^\circ \ </math>
|align="center"| tak
|-
|align="center"| [[Pięciokąt]] foremny
|align="center"| [[Plik:Regular_pentagonRegular pentagon.svg|40px]]
|align="center"| 5
|align="center"| <math>108^\circ \ </math>
|align="center"| tak
|-
|align="center"| [[Sześciokąt]] foremny
|align="center"| [[Plik:Regular_hexagonRegular hexagon.svg|40px]]
|align="center"| 6
|align="center"| <math>120^\circ \ </math>
|align="center"| tak
|-
|align="center"| [[Siedmiokąt]] foremny
|align="center"| [[Plik:Regular heptagon.svg|40px]]
|align="center"| 7
|align="center"| <math> {128\tfrac{4}{7}}^\circ \ </math>
|align="center"| nie
|-
|align="center"| [[Ośmiokąt]] foremny
|align="center"| [[Plik:Regular octagon.svg|40px]]
|align="center"| 8
|align="center"| <math>135^\circ \ </math>
|align="center"| tak
|-
|align="center"| [[Dziewięciokąt foremny]]
|align="center"| [[Plik:Regular nonagon.svg|40px]]
|align="center"| 9
|align="center"| <math> 140^\circ \ </math>
|align="center"| nie
|-
|align="center"| [[Dziesięciokąt foremny]]
|align="center"| [[Plik:Regular decagon.svg|40px]]
|align="center"| 10
|align="center"| <math>144^\circ \ </math>
|align="center"| tak
|}