Kresy dolny i górny: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne techniczne |
|||
Linia 3:
'''Kres (kraniec) dolny''', '''infimum''' ({{łac.|infimus}} „najniższy”) oraz '''kres (kraniec) górny''', '''supremum''' ({{łac.|supremus}} „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ''ograniczeń dolnych'' oraz najmniejsze z ''ograniczeń górnych'' danego [[zbiór|zbioru]], o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych [[częściowy porządek|zbiorach częściowo uporządkowanych]], najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów [[liczby rzeczywiste|liczbowych]].
== Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych ==
=== Definicje ===
Niech <math>A\subseteq \mathbb R</math> będzie [[zbiór pusty|niepustym podzbiorem]].
'''Ograniczeniem górnym (majorantą)''' zbioru <math>A</math> nazywamy liczbę <math>s\in \mathbb R</math> spełniającą:
: <math>s \geqslant a
Analogicznie '''ograniczeniem dolnym (minorantą)''' zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.
'''Kresem górnym''' zbioru <math>A</math> nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę <math>s \in \mathbb R</math> spełniającą:
* <math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A;</math>
* jeśli <math>s' \in \mathbb R</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A,</math>
Analogicznie '''kresem dolnym''' zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.
Kres górny zbioru <math>A</math> oznaczamy <math>\sup(A),</math>
Zapisy <math>\inf(A) = -\infty</math> oraz <math>\sup(A) = \infty</math> oznaczają, że <math>A</math> jest [[zbiór ograniczony|nieograniczony]] odpowiednio z dołu lub z góry (zob. [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych]]).
=== Własności ===
* Każdy niepusty podzbiór <math>\mathbb R</math> ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się [[Porządek zupełny|zupełnością zbioru]] liczb rzeczywistych (zob. [[aksjomat ciągłości]]).
* Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
* Przypuśćmy że <math>A\subseteq \mathbb R</math> jest niepustym zbiorem oraz <math>s \in \mathbb R,</math>
*: <math>s = \sup(A)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\forall_{a \in A}\; a \leqslant s</math> oraz <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon;</math>
*: <math>s = \inf(A)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\forall_{a \in A}\; a \geqslant s</math> oraz <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a + \varepsilon \
* Jeżeli <math>A \subseteq \mathbb R</math> oraz oznaczymy <math>-A := \{x \in \mathbb R
*: <math>\inf(-A) = -\sup(A),</math>
*: <math>\sup(-A) = -\inf(A).</math>
=== Przykłady ===
* Niech <math>A=[0, 3].</math>
:: <math>\inf(A)=0,</math>
:: <math>\sup(A)=3,</math>
* Niech <math>B=(0, 3).</math>
:: <math>\inf(B)=0,</math>
:: <math>\sup(B)=3,</math>
* Niech <math>C=\{0, 1, 3\}.</math>
* Niech <math>D=\{\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \tfrac45, \tfrac56, \
:: <math>\sup(D)=1,</math>
* Niech <math>E=\emptyset.</math>
:: <math>\inf(E)=\infty,\quad \sup(E)= -\infty,</math>
== Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych ==
Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.
=== Definicje ===
Niech <math>(X,\sqsubseteq)</math> będzie [[częściowy porządek|zbiorem częściowo uporządkowanym]] i niech <math>A\subseteq X.</math>
Element <math>s\in X
: <math>\forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s.</math>
Element <math>s\in X
: <math>\forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a.</math>
Element <math>s\in X
: <math>s</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A;</math>
: jeśli <math>s' \in X</math> jest ograniczeniem górnym zbioru <math>A,</math>
Element <math>s\in X
: <math>s</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A;</math>
: jeśli <math>s' \in X</math> jest ograniczeniem dolnym zbioru <math>A,</math>
Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór <math>X</math> ma kres górny, to porządek <math>(X,\sqsubseteq)</math> nazywa się [[Porządek zupełny|zupełnym]].
=== Własności ===
* Każdy element zbioru <math>X</math> jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru <math>X,</math>
* Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia <math>\inf(A)</math> i <math>\sup(A)</math> odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru <math>A</math> są jednoznaczne.
* Jeśli <math>(X,\sqsubseteq)</math> jest [[Porządek liniowy|porządkiem liniowym]], to istnieje zupełny porządek liniowy <math>(Y,\leqslant)</math> taki że <math>X\subseteq Y</math> i obcięcie <math>\leqslant \upharpoonright X</math> zgadza się z <math>\sqsubseteq,</math>
* Jeśli <math>(X,\sqsubseteq)</math> jest zupełnym [[Porządek liniowy|porządkiem liniowym]] (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór <math>X</math> ma [[Kresy dolny i górny|kres górny]]), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór <math>X</math> ma kres dolny.
=== Przykłady ===
* Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład
* Niech <math>X=(1,2)\cup(3,4)</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu górnego, bowiem <math>(3,4)</math> jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru <math>(1,2),</math>
* Niech <math>X=(1,2]\cup(3,4]</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2]</math> ma w zbiorze <math>X</math> kres górny <math>2,</math>
* Niech <math>({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1)</math> będzie [[algebra Boole’a|algebrą Boole’a]] i niech <math>\leqslant</math> będzie porządkiem
** Kres górny niepustego zbioru <math>A\subseteq {\mathbb B}</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\sum A</math> i bywa nazywany ''sumą zbioru <math>A</math>''. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek
** Kres dolny niepustego zbioru <math>A\subseteq {\mathbb B}</math> (jeśli istnieje) jest oznaczany przez <math>\prod A</math> i bywa nazywany ''produktem (iloczynem) zbioru <math>A</math>''. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a <math>{\mathbb B}{:}</math>
**: każdy niepusty podzbiór <math>
**: każdy niepusty podzbiór <math>
** Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. [[Algebra Boole’a#Zupełne algebry Boole’a|zupełność algebry]]), jeśli <math>\varnothing \neq A \subseteq \mathbb B,</math>
**: <math>\sum A=\sim\prod\{\sim a
== Zobacz też ==
* [[
* [[
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |
* {{Cytuj książkę |
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
|