Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 17 bajtów ,  3 lata temu
m
m (Zastępowanie przestarzałej składni LaTeX zgodnie z mw:Extension:Math/Roadmap)
m (WP:SK+Bn)
'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> że zachodzi:
: <math>a+(-a)=0\;,</math>
 
gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].
 
Przykład:
* liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3−3.
 
W szczególności:
* liczbą przeciwną do zera jest zero.,
* liczbą przeciwną do przeciwnej do ''<math>x''</math> jest liczba ''<math>x''.</math>
 
W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
 
W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczbyMoc kardynalnezbioru|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].
 
== Uogólnienie na grupy uporządkowane ==
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
 
Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/OrderedGroup.html PlanetMath: ordered group<!-- Tytuł wygenerowany przez bota -->].</ref><ref>{{Cytuj | url=http://books.google.com/books?id=Nmj7LtsOT0sC&pg=PA9&dq=%22ordered+group%22&lr= | tytuł=Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=books.google.com | data dostępu=2017-11-24}}</ref>
: <math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \land c + a \leqslant c + b),</math>
 
to
* elementy dla których <math>a \leqslant 0,</math>, nazywamy niedodatnimi,
* elementy dla których <math>0 \leqslant a,</math>, nazywamy nieujemnymi,
* elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi,
* elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi,
 
Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
 
Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
* element przeciwny do dodatniego jest ujemny,
* element przeciwny do ujemnego jest dodatni.
 
Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetykaArytmetyka modulomodularna|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.
 
== Zobacz też ==
* [[arytmetyka]]
* [[liczba odwrotna]]
* [[liczba]]
* [[liczba odwrotna]]
 
== Przypisy ==