Równanie kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 9 bajtów ,  2 lata temu
m
m (Wycofano edycje użytkownika 185.40.113.3 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to 94.254.227.90.)
Znacznik: Wycofanie zmian
m (WP:SK+Bn)
'''Równanie kwadratowe''' – [[równanie algebraiczne]] z jedną [[niewiadoma|niewiadomą]] w drugiej [[potęgowanie|potędze]] i opcjonalnie niższych. Innymi słowy [[wielomian#Równania wielomianowe|równanie wielomianowe]] drugiego [[stopień wielomianu|stopnia]], czyli równanie postaci
: <math>ax^2 + bx + c = 0,</math>
 
gdzie <math>a, b, c</math> są jego ''współczynnikami'' rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego [[Ciało (matematyka)|ciała]]. Zakłada się, że <math>a \ne 0,</math>, dzięki czemu równanie nie degeneruje się do [[równanie liniowe|równania liniowego]]. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: ''kwadratowym'', ''liniowym'' i ''stałym'' (bądź ''wyrazem wolnym'').
 
Inną nazwą równania kwadratowego jest '''równanie drugiego stopnia'''.
''Rozwiązaniem'' równania kwadratowego
: <math>ax^2 + bx + c = 0</math>
 
nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce <math>x</math> daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w ''postaci iloczynowej'', tzn.
: <math>a(x - x_1)(x - x_2) = 0,</math>
 
dla pewnych liczb <math>x_1, x_2,</math> to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb <math>x_1, x_2,</math> gdyż podstawiona zamiast <math>x</math> sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.
 
{{Zobacz też|wyróżnik}}
Ponieważ
: <math>\begin{align}
ax^2 + bx + c & = a\left(x^2 + \tfrac{bx}{a} + \tfrac{c}{a}\right) \\
\begin{align} ax^2 + bx + c & = a\left(x^2 + \tfrac{bx}{a} + \tfrac{c}{a}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{xb}{a} + \tfrac{4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{4ac - b^2}{4a^2} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2} - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left((x + \tfrac{b}{2a})^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a} - \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x + \tfrac{b}{2a} + \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = \\ & = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \end{align}
& = a\left(x^2 + \tfrac{xb}{a} + \tfrac{4ac}{4a^2}\right) \\
</math>
& = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{4ac - b^2}{4a^2} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) \\
& = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2} - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) \\
& = a\left((x + \tfrac{b}{2a})^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) \\
& = a\left(x + \tfrac{b}{2a} - \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x + \tfrac{b}{2a} + \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \\
& = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)
\end{align}</math>
 
(piąta równość zachodzi na podstawie [[wzory skróconego mnożenia|wzoru skróconego mnożenia]] na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości
: <math>x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
 
oraz
: <math>x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.</math>
Wyrażenie
: <math>\Delta = b^2 - 4ac</math>
 
nazywa się '''wyróżnikiem''' równania kwadratowego. W szczególności jeżeli <math>\Delta = 0,</math> to
: <math>x_1 = x_2 = \tfrac{-b}{2a}.</math>
Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie [[liczby zespolone|zespolonej]] – w szczególności, gdy <math>\Delta < 0,</math> to
: <math>\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2},</math>
 
gdzie <math>i</math> jest [[jednostka urojona|jednostką urojoną]], a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa [[sprzężenie zespolone|sprzężone]] ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi <math>\tfrac{-b}{2a}.</math> Jeżeli <math>\Delta > 0,</math> to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem <math>\tfrac{-b}{2a}.</math> Przypadki dla <math>\Delta \ne 0</math> można podsumować zdaniem: [[średnia arytmetyczna]] pierwiastków wynosi <math>\tfrac{-b}{2a}</math> (por. [[#Wzory Viète’a|wzory Viète’a]]).
 
[[Plik:Quadratic equation discriminant.png|thumb|Przykłady różnych znaków wyróżnika:<br /><span style="color:#FFE600">■</span> &lt;<0: ''x''<sup>2</sup> + <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub><br /><span style="color:#bc1e47">■</span> =0: −<sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup> + <sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>''x'' <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub><br /><span style="color:#0081cd">■</span> &gt;>0: <sup>3</sup>⁄<sub>2</sub>''x''<sup>2</sup> + <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>''x'' <sup>4</sup>⁄<sub>3</sub>]]
 
Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]], o ile <math>\Delta \geqslant 0.</math> Dokładniej, jeśli:
* <math>\Delta > 0,</math> to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste);,
* <math>\Delta = 0,</math> to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty);,
* <math>\Delta < 0,</math> to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
 
=== Wzory Viète’a ===
{{Zobacz też|wzory Viète’a}}
Znając jedno rozwiązanie, można wskazać drugie, korzystając z tzw. wzorów Viète’a, które dla wielomianu <math>ax^2 + bx + c</math> mają postać
: <math>\begin{cases} x_1 x_2 = \frac{c}{a} \\ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}. \end{cases}</math>
 
Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu
: <math>x^2 + bx + c</math>
 
spełniają równości <math>b = u + v</math> i <math>c = uv,</math> to można go zapisać jako
: <math>(x + u)(x + v).</math>
 
Oznacza to, że rozwiązaniami równania
: <math>x^2 + bx + c = 0,</math>
 
którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby
: <math>x_1 = -u</math> oraz <math>x_2 = -v.</math>
Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech
: <math>x^2 + bx + d = 0</math>
 
będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli
: <math>x^2 + bx + c = (x - t)^2,</math>
 
to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:
: <math>x^2 + bx + c - c + d = 0,</math>
 
skąd
: <math>(x - t)^2 - (c - d) = 0,</math>
 
a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się
: <math>(x - t - \sqrt{c - d})(x - t + \sqrt{c - d}) = 0,</math>
 
co daje rozwiązania
: <math>x = t + \sqrt{c - d}</math> oraz <math>x = t - \sqrt{c - d}.</math>
=== Współczynniki całkowite ===
Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków [[liczby wymierne|wymiernych]] równania kwadratowego o współczynnikach [[liczby całkowite|całkowitych]], czyli postaci
: <math>ax^2 + bx + c = 0,</math>,
 
gdzie <math>a, b, c</math> są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez [[najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszą wspólną wielokrotność]] mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:
 
: Jeżeli liczba wymierna <math>p/q,</math>, gdzie <math>p</math> i <math>q \ne 0</math> są [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszymi]] liczbami całkowitymi (tzn. ich [[największy wspólny dzielnik]] jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to <math>p</math> jest [[dzielnik]]iem <math>c,</math>, a <math>q</math> jest dzielnikiem <math>a.</math>.
 
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla [[wielomian]]ów wyższych stopni.
* Rozwiązaniami wymiernymi równania
:: <math>2x^2 - 7x + 5 = 0</math>
: mogą być tylko liczby należące do zbioru <math>\{-5, -1, 1, 5, -5/2, -1/2, 1/2, 5/2\}.</math>. Podstawiając <math>x = -5</math> otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie <math>x = 5</math> daje <math>20 \ne 0;</math>; liczba <math>x = -1</math> podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość <math>14;</math>; liczba <math>x = 1</math> jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest <math>5/2</math>).
 
=== Inne ===
Jeżeli suma współczynników równania
: <math>ax^2 + bx + c = 0</math>
 
jest równa zeru, tzn. <math>a + b + c = 0,</math> to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba <math>1</math> (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli <math>-a + b - c = 0,</math> to liczba <math>-1</math> jest pierwiastkiem tego równania.