Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Paweł Ziemian BOT (dyskusja | edycje)
m Poprawiam szablon cytowania
m drobne techniczne
Linia 9:
'''(1)''' Funkcja <math>f \,</math> jest całkowalna na każdym przedziale <math>[a,x] \,</math> dla <math>x\in [a,b]</math> i odwzorowanie <math>F:[a,b]\longrightarrow{\mathbb R}</math> dane wzorem
: <math> F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt</math>
 
jest [[Funkcja ciągła|ciągłe]] w przedziale <math>[a,b] \,</math>. Jeżeli ponadto <math>f \,</math> jest ciągła w pewnym punkcie <math>x_0\in[a,b]</math>, to funkcja <math>F \,</math> jest [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]] w <math>x_0 \,</math> oraz <math>F' (x_0) = f(x_0). \,</math>
 
'''(2)''' Jeżeli <math>F:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}</math> jest funkcją ciągłą na <math>[a,b]</math> i różniczkowalną na <math>(a,b) \,</math> oraz
: <math>f(x) = F'(x)\,</math> dla każdego <math>x \in (a,b)</math>
 
to
: <math>F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt + F(a);</math> innymi słowy, zachodzi wzór na całkę Leibnitza-Newtona <math>\int\limits_a^x f(t)\,dt = F(x) - F(a);</math>
 
oprócz tego na <math>(a, b)</math>
: <math>f(x) = \frac{d}{dx} \int\limits_a^x f(t)\,dt</math>.
Linia 23 ⟶ 26:
(1) Wykażemy, że jeśli <math>f</math> jest ciągła na <math>[a,b]</math>, to funkcja <math>F:[a,b]\longrightarrow {\mathbb R}</math> dana wzorem
: <math>F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt</math>
 
jest różniczkowalna w każdym punkcie odcinka <math>[a,b]</math>. Niech <math>x_1</math> i <math>x_1 + \Delta x</math> będą tak dobrane, by leżały w przedziale <math>[a, b]</math>. Wówczas
: <math>F(x_1) = \int\limits_{a}^{x_1} f(t) dt</math>
 
i
: <math>F(x_1 + \Delta x) = \int\limits_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt</math>.
 
Odejmując stronami otrzymujemy
: <math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int\limits_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int\limits_{a}^{x_1} f(t) dt \;</math>.
 
Z własności [[całka oznaczona|całki oznaczonej]] wynika, że
: <math>\int\limits_{a}^{x_1} f(t) dt + \int\limits_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = \int\limits_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt </math>
 
skąd mamy natychmiast
: <math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int\limits_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt \;</math>.
 
Na mocy [[Twierdzenie o wartości średniej (rachunek całkowy)|twierdzenia o wartości średniej]] dla rachunku całkowego istnieje
Na mocy [[Twierdzenie o wartości średniej (rachunek całkowy)|twierdzenia o wartości średniej]] dla rachunku całkowego istnieje <math>c\in [x_1, x_1+\Delta x]</math> takie, że
: <math>\int\limits_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = f(c) \Delta x </math>.
 
Stąd
: <math>F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,</math>,
 
a po podzieleniu obu stron przez Δ''x'':
: <math>\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c) </math>.
 
Jak widać, wyrażenie to jest [[iloraz różnicowy|ilorazem różnicowym]] funkcji ''F'' w punkcie ''x''<sub>1</sub>. Przechodząc po obu stronach do granicy z Δ''x'' → 0 otrzymujemy
: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) </math>
Linia 45 ⟶ 56:
Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest definicją pochodnej funkcji ''F'' w punkcie ''x''<sub>1</sub>:
: <math>F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) \;</math>.
 
Ponieważ <math>x_1\leqslant c\leqslant x_1+\Delta x</math> jasne jest, że gdy Δ''x'' → 0, to ''c'' → <math>x_1</math>. W konsekwencji,
W konsekwencji,
: <math>F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)</math>.
 
Ponieważ funkcja ''f'' jest ciągła w punkcie ''x<sub>1</sub>'', więc granica po prawej stronie równa jest wartości funkcji w punkcie ''x<sub>1</sub>''. Stąd
: <math>F'(x_1) = f(x_1) \,</math>.
 
i dowód jest zakończony.
 
Linia 61 ⟶ 73:
Niech <math>S=\int\limits_a^b f(t)\;dt</math>. Ustalmy na pewien czas dodatnią liczbę <math>\varepsilon>0</math>. Z definicji całki Riemanna widzimy, że możemy wybrać podział z punktami pośrednimi <math>\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle</math> odcinka <math>[a,b]</math> taki że dla każdego podziału <math>\langle t_0,\ldots,t_N,\xi_0,\ldots,\xi_{N-1}\rangle</math> rozdrabniającego <math>\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle</math> mamy
::: <math>\big|S-\sum\limits_{j=0}^{N-1} f(\xi_j)\cdot (t_{j+1}-t_j)\big|<\varepsilon/2</math>.
 
Następnie wybierzmy podział <math>\langle t_0^*,\ldots,t_N^*,\xi_0^*,\ldots,\xi_{N-1}^*\rangle</math> rozdrabniający <math>\langle s_0,\ldots,s_M,\zeta_0,\ldots,\zeta_{M-1}\rangle</math> i taki że oznaczając
:: <math>A=\big\{j\in \{0,\ldots,N-1\}:(\exists i<M)(\zeta_i=\xi_j^*)\big\}</math> oraz <math>B=\big\{0,\ldots, N-1\big\}\setminus A</math>
 
mamy
: (a) <math>\big|\sum\limits_{j\in A} [(F(t_{j+1}^*)-F(t_j^*))-f(\xi_j^*)\cdot (t_{j+1}^*-t_j^*)]\big|<\varepsilon/2</math>, oraz
: (b) jeśli <math>j\in B</math>, to <math>F(t_{j+1}^*)-F(t_j^*)=F'(\xi_j^*)\cdot (t_{j+1}^*-t_j^*)=f(\xi_j^*)\cdot (t_{j+1}^*-t_j^*)</math>.
 
Wybór podziału <math>\langle t_0^*,\ldots,t_N^*,\xi_0^*,\ldots,\xi_{N-1}^*\rangle</math> jest możliwy, bo aby zapewnić warunek (a) wystarczy dobrać <math>t_j^*,t_{j+1}^*</math> (dla <math>j\in A</math>) dostatecznie blisko siebie (pamiętajmy że <math>F</math> jest ciągła), a aby zapewnić warunek (b) wystarczy skorzystać z [[Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)|twierdzenia Lagrange’a]]. Następnie zauważmy, że
:: <math>F(b)-F(a)=\sum_{j=0}^{N-1}\big(F(t_{j+1}^*)-F(t_j^*)\big)=\sum_{j\in A} \big(F(t_{j+1}^*)-F(t_j^*)\big)+ \sum_{j\in B} f(\xi_j^*)\cdot (t_{j+1}^*-t_j^*)</math>.
 
Stąd widzimy że
: <math>|F(b)-F(a)-S|<\varepsilon/2 +\big|F(b)-F(a)-\sum\limits_{j=0}^{N-1} f(\xi_j^*)\cdot (t_{j+1}^*-t_j^*)\big|=</math>
: <math>\varepsilon/2+\big|\sum\limits_{j\in A} [(F(t_{j+1}^*)-F(t_j^*))-f(\xi_j^*)\cdot (t_{j+1}^*-t_j^*)]\big|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon</math>.
 
Tak więc pokazaliśmy, że dla dowolnej dodatniej liczby <math>\varepsilon</math> zachodzi nierówność <math>|F(b)-F(a)-S|<\varepsilon</math>. Stąd wnioskujemy że <math>F(b)-F(a)=S</math>, co należało udowodnić.
 
Linia 76 ⟶ 93:
* Jeżeli funkcja ''f'' określona jest w przedziale [-1,1] wzorem:
: <math>f(t) = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } t \neq 0 \\ 0 & \mbox{dla } t=0 \end{cases},</math>
 
to mimo iż jest ona nieciągła w punkcie 0, funkcja
: <math>F(x)=\int\limits_{-1}^x f(t)\,dt = x+1</math>
 
ma pochodną w punkcie 0, lecz jest ona równa 1.
* Oblicz pochodną funkcji
: <math>F(x)=\int\limits_1^x t\, dt. </math>
 
Na mocy twierdzenia podstawowego mamy natychmiast <math>F^{\;\prime}(x)=x\;</math>, co można również sprawdzić bezpośrednio wyliczając całkę oznaczoną.
* Oblicz pochodną funkcji
: <math>F(x)=\int\limits_1^{x^2} t\, dt. </math>
 
Zauważmy, że <math>F(x)=G \circ u(x)</math>, gdzie <math>G(u)=\int\limits_1^u t\,dt</math>, a <math>u(x)=x^2</math>, a zatem z twierdzenia o [[Reguła łańcuchowa|pochodnej funkcji złożonej]] mamy
: <math>\frac{dF}{dx}=\frac{dG}{du}\cdot \frac{du}{dx}.</math>
 
Ponieważ <math>\frac{du}{dx}=2x</math>, na mocy twierdzenia podstawowego otrzymujemy
: <math>\frac{dF}{dx}=u\cdot 2x=x^2\cdot 2x=2x^3,</math>
 
co również można sprawdzić obliczając explicite całkę definiującą ''F''.
 
Linia 104 ⟶ 127:
*{{cytuj książkę|imię=Franciszek|nazwisko=Leja|tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy|wydanie=XVI|miejsce=Warszawa|rok=1979|odn=tak|strony=288-290}}
*{{cytuj książkę|imię=Grigorij Michajłowicz|nazwisko=Fichtenholz|tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy|tom=2|wydanie=trzecie|wydawca=PWN|rok=1965|miejsce=Warszawa|odn=tak|strony=99-100}}
 
 
 
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]]