Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami

m
m (MalarzBOT: usuwanie powtórzonych parametrów z szablonów)
m (WP:SK+Bn)
'''Zdarzenia losowe niezależne''' - [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] <math>A, B \in \mathcal{A} </math> na pewnej ustalonej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> spełniające warunek
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).</math>.
 
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń <math>A</math> i <math>B</math> wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie <math>A</math> nie zależy od zdarzenia <math>B,</math>, jeśli wiedza nt. zajścia <math>B</math> nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia <math>A.</math>. Co można zapisać jako <math>P(A|B)=P(A)\;.</math>. Z tej intuicji i [[Prawdopodobieństwo warunkowe|wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń]] (<math>(P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B))</math>) wynika powyższy wzór.
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>.
 
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \ldotsdots, A_m\in \mathcal{A},</math>, to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy spełniony jest warunek
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń <math>A</math> i <math>B</math> wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie <math>A</math> nie zależy od zdarzenia <math>B</math>, jeśli wiedza nt. zajścia <math>B</math> nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia <math>A</math>. Co można zapisać jako <math>P(A|B)=P(A)\;</math>. Z tej intuicji i [[Prawdopodobieństwo warunkowe|wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń]] (<math>P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)</math>) wynika powyższy wzór.
: <math> P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=P(A_{i_1}) \cdot ... \cdot P(A_{i_k})</math> dla każdego układu indeksów <math> i_1, \ldotsdots, i_k </math> oraz dla każdego <math> k = 1, 2, \ldotsdots, m .</math>.
 
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia <math>A_1, A_2,\ldots dots</math> są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej ''n'' zdarzenia <math>A_{i_1}, \ldotsdots, A_{i_n}</math> są niezależne.
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \ldots, A_m\in \mathcal{A}</math>, to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy spełniony jest warunek
 
: <math> P(A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_k})=P(A_{i_1}) \cdot ... \cdot P(A_{i_k})</math> dla każdego układu indeksów <math> i_1, \ldots, i_k </math> oraz dla każdego <math> k = 1, 2, \ldots, m </math>.
 
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia <math>A_1, A_2,\ldots </math> są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej ''n'' zdarzenia <math>A_{i_1}, \ldots, A_{i_n}</math> są niezależne.
 
== Własności ==
* Z definicji wynika, że dwa [[Zdarzenia losowe rozłączne|zdarzenia rozłączne]] są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
* Gdy zdarzenia <math>A_1, \ldotsdots, A_n</math> są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne <math> A_1^\prime', \ldotsdots, A_n^\prime '</math> też są niezależne oraz:
: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime' \right)^\prime' \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k^\prime' \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k^\prime') = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k)).</math>.
Por. [[prawa De Morgana]].
 
== Niezależność σ-ciał ==
σ-ciała <math>\mathcal{F}_1, \ldotsdots, \mathcal{F}_n,</math>, gdzie <math>\mathcal{F}_i\subseteq \mathcal{A}</math> dla <math>i\in\{1,\ldotsdots, n\}</math> nazywamy '''niezależnymi''', gdy dla dowolnych <math>A_1\in \mathcal{F}_1, \ldotsdots, A_n\in \mathcal{F}_n</math>
: <math>P(A_1\cap\ldots \cap A_n)=P(A_1)\cdot\ldots\cdot P(A_n).</math>.
 
Jeżeli <math>A_1\in \mathcal{F}_1, \ldotsdots, A_n\in \mathcal{F}_n,</math>, to przez <math>\sigma(A_i)</math> rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie <math>A_i,</math>, tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór <math>A_i.</math>. Dokładniej, dla <math>i\in\{1,\ldotsdots, n\}</math>
: <math>\sigma(A_i)=\{\varnothing, \Omega, A_i, \Omega\setminus A_i\}.</math>.
 
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia <math>A_1, \ldotsdots, A_n</math> są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
σ-ciała <math>\sigma(A_1), \ldotsdots, \sigma(A_n)</math> są niezależne.
 
== Zobacz też ==
 
== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko= Jakubowski |imię= Jacek |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał |autor link2=Rafał Sztencel |inni= |tytuł= Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |url= |data= |rok=2004 |miesiąc= |wydawca=SCRIPT |miejsce= Warszawa |id= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat = |strony=43-4743–47}}
 
[[Kategoria:Zdarzenia losowe|Niezależne]]