Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Dowód Pietra Mengolego: drobne redakcyjne |
m lit. |
||
Linia 11:
Poniższy dowód rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od [[Mikołaj z Oresme|Mikołaja z Oresme]] i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki:
: <math>
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots ></math>
: <math>> 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots</math>.
Linia 28:
===Dowód Bradleya===
Bradley podał w roku 2000<ref>D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, ''American Mathematical Monthly'', 107 (2000), 651.</ref> następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
Dla dowolnej liczby <math>x > -1</math> spełniona jest nierówność
: <math>x \geqslant \ln(x + 1),</math>,
a stąd
:<math>\frac{1}{k}\geqslant \ln\left(1+ \frac{1}{k}\right)= \ln\left(\frac{k+1}{k}\right)
Ciąg sum częściowych można więc oszacować:
:<math>\begin{align}H_n & = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \\
& \geqslant \sum_{k=1}^n (\ln(k+1) - \ln k)\\
& = \ln(n+1).
Ponieważ
:<math>\lim_{n \to \infty} \ln(n + 1) = \infin,</math>
zachodzi
Linia 74:
Natomiast szereg:
: <math>\sum_{n = 1}^\infty \epsilon_n\frac{1}{n}</math>
gdzie <math>\epsilon_n </math> to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny [[prawie na pewno]]. Wynika to z [[Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach|twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach]], bo wartości
== Przypisy ==
| |||