|
'''Wielokrotność''' – termin używany w [[algebra|algebrze]] w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.
== Definicje ==
* W matematyce elementarnej, wielokrotność [[liczby naturalne]]j <math> a, </math> to każda liczba <math> b </math> postaci <math> b=na,</math> gdzie <math>n</math> jest liczbą naturalną. Definiuje się też '''całkowite wielokrotności [[liczby rzeczywiste]]j''' <math> r </math> jako liczby rzeczywiste <math> s </math> postaci <math> s=kr, </math> gdzie <math> k </math> jest [[liczby całkowite|liczbą całkowitą]].
* W [[teoria podzielności|teorii podzielności]], powiemy że element <math> b </math> [[Dziedzina całkowitości|pierścienia całkowitego]] <math> R </math> jest wielokrotnością elementu <math> a </math> tegoż [[Pierścień (matematyka)|pierścienia]], jeśli <math> b=ca </math> dla pewnego <math>c\in R</math> (zobacz [[Bolesław Gleichgewicht|Gleichgewicht]]<ref>{{Cytuj książkę| |autor = Gleichgewicht, Bolesław| |tytuł=Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych | wydawca= Państwowe Wydawnictwo Naukowe| |miejsce= Warszawa | rok= 1983 | wydanie = III| |strony= 283| |isbn= 83-01-03903-5}}</ref>). W tym kontekście, jeśli <math> b </math> jest wielokrotnością <math> a </math> (w pierścieniu <math> R </math>) to mówimy też, że <math> a </math> jest [[dzielnik]]iem <math> b . </math>
* W [[teoria grup|teorii grup]], wielokrotnościami elementu ''<math>g''</math> w [[grupa (matematyka)|grupie]] <math>(G,+)</math> nazywamy elementy postaci <math>n\cdot g=g+g+\ldots +g</math> (''<math>n''</math> składników)<ref>[[Ibidem|Ibid.]] Strona 30.</ref>.
== Przykłady ==
=== W matematyce elementarnej ===
* Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20, itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
* Liczby <math>\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi</math> są całkowitymi wielokrotnościami liczby <math>\pi.</math>. Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami <math>\pi</math> w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych <math>({\mathbb R},+,0).</math>.
=== W teorii pierścieni ===
* 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
* W pierścieniu <math>{\mathbb C}[x]</math> [[wielomian]]ów o współczynnikach [[liczby zespolone|zespolonych]], wielomian <math>x^2+1</math> jest wielokrotnością wielomianu <math>x+i</math> (bowiem <math>x^2+1=(x+i)(x-i)</math>).
* Jeśli pierścień <math> R </math> jest [[ciało (matematyka)|ciałem]] oraz <math>a\in R\setminus\{0\},</math>, to wszystkie elementy <math> R </math> są wielokrotnościami <math> a </math> w sensie teorii pierścieni.
=== W teorii grup ===
* W grupie [[Grupa permutacji|S<sub>3</sub>]], [[permutacja]] <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}</math> jest wielokrotnością <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}</math> bowiem
: <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}</math>
* W [[Arytmetyka modularna#Grupa addytywna|grupie addytywnej klas reszt modulo 25]], tzn. w <math>({\mathbb Z}_Z_{25},+),</math>, wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.
== Wspólna wielokrotność ==
'''Wspólna wielokrotność''' [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math> x </math> i <math> y </math> jest to taka liczba <math> z ,</math>, która jest wielokrotnością liczby <math> x </math> i jest wielokrotnością liczby <math> y , </math> to znaczy istnieją takie liczby <math> k , l </math> należące do zbioru liczb naturalnych, że <math>z=kx\;</math> i <math>z=ly . \;</math>
; Przykład
== Zobacz też ==
{{Wikisłownik|wielokrotność}}
* [[Dzielnik|podwielokrotność]]
== Przypisy ==
| 