Wikipedia

Równanie różniczkowe cząstkowe: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Paweł Ziemian BOT (dyskusja | edycje)
Boty
1 384 060 edycji
m Poprawiam szablon cytowania
Linia 2:
 
== Podstawowa definicja ==
Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób. Niech <math>k \geqslant 1</math> będzie liczbą całkowitą, a <math>U</math> otwartym podzbiorem <math>\mathbb R^n.</math> Równanie postaci:
Niech: <math>k F\geqslantleft(D^ku(x), D^{k-1</math>}u(x), będzie\dots, liczbąDu(x), całkowitąu(x), ax\right) <math>U= 0,</math> otwartym podzbioremgdzie <math>x \mathbbin R^nU</math>. Równanie postaci:
 
: <math>F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0</math>, gdzie <math>x \in U</math>
nazywa się '''równaniem różniczkowym cząstkowym <math>k</math>-tego rzędu'''.
 
Funkcja <math>F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R</math> jest dana, natomiast <math>u\colon U \to \mathbb R</math> jest niewiadomą.
: <math>D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\},</math>,▼
 
gdzie <math>\alpha</math> jest <math>n</math>-wymiarowym [[notacja wielowskaźnikowa|wielowskaźnikiem]].▼
▲: <math>D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\}</math>,
▲gdzie <math>\alpha</math> jest n-wymiarowym [[notacja wielowskaźnikowa|wielowskaźnikiem]].
 
== Historia ==
Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów [[Drgania|drgań]] rozmaitych środowisk, między innymi drgań [[Struna|strun]], prętów, [[Przepona (budowa maszyn)|membran]], jak również w związku z badaniami zagadnień z zakresu [[Akustyka|akustyki]] i [[Hydromechanika|hydromechaniki]]. Pierwsze równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez [[Jean le Rond d’Alembert|J. D’Alembertad’Alemberta]]. Było to równanie – według dzisiejszej nomenklatury – typu hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. [[Leonhard Euler|L. Euler]] (1707–1783) sprecyzował warunki określające jednoznaczność rozwiązania tego [[Równanie falowe|równania]], tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Później, kierując się sugestiami natury fizycznej, [[Daniel Bernoulli|D. Bernoulli]] przedstawił rozwiązanie struny drgającej w postaci [[Szereg trygonometryczny|szeregu trygonometrycznego]]. Metodę tę rozwinął [[Jean Baptiste Joseph Fourier|J. Fourier]] (1750-18301750–1830), tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych.
 
[[Augustin Louis Cauchy|A.L. Cauchy]] sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane dzisiaj [[Zagadnienie Cauchy’ego|zagadnieniem Cauchy’ego]].
 
[[Pierre Simon de Laplace|P. Laplace]] zauważył, że [[potencjał]] siły wzajemnego przyciągania dwóch mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę [[Równanie różniczkowe Laplace’a|równania Laplace’a]]. [[Siméon Denis Poisson|S.D. Poisson]] rozwinął teorię zjawisk [[Grawitacja|przyciągania grawitacyjnego]], w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś [[Równanie różniczkowe Poissona|równaniem Poissona]]. Tak więc badania z zakresu mechaniki nieba i [[Grawimetria|grawimetrii]] doprowadziły do powstania klasy równań noszących dziś nazwę ''równań eliptycznych''.
 
W początkach XIX wieku [[George Green|G. Green]] stworzył ogólne podstawy teorii potencjału, rozwijając [[Oddziaływanie elektromagnetyczne|teorię elektryczności]] i [[magnetyzm]]u.
 
Badania zjawiska [[Przewodność cieplna|przewodnictwa cieplnego]] oraz [[Dyfuzja|dyfuzji]] gazów i cieczy doprowadziły natomiast do powstania klasy równań, które nazywamy dzisiaj ''równaniami parabolicznymi''.
 
Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy matematycy jak [[Bernhard Riemann|B. Riemann]], [[Henri Poincaré|H. Poincare]], [[Charles Émile Picard|E. Picard]], [[Jacques Salomon Hadamard|J. Hadamard]], [[Édouard Goursat|E. Goursat]]. Z polskich matematyków wymienić należy [[Witold Pogorzelski|W. Pogorzelskiego]] oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym – [[Mirosław Krzyżański|M. Krzyżańskiego]]. Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień [[fizyka|fizyki]] i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk, które pierwotnie opisywały.
Z polskich matematyków wymienić należy [[Witold Pogorzelski|W. Pogorzelskiego]] oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęconych równaniom różniczkowym cząstkowym – [[Mirosław Krzyżański|M. Krzyżańskiego]].
Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami zagadnień [[fizyka|fizyki]] i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znakomita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk, które pierwotnie opisywały.
 
Wiek XX przyniósł dalszy bujny rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem nowych działów [[matematyka|matematyki]], zwłaszcza [[Analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]].
 
== Przykłady ==
Wszędzie dalej przyjmujemy, że <math>t \geqslant 0</math> oraz <math>x \in U,</math>, gdzie <math>U</math> jest otwartym podzbiorem <math>\mathbb{R}^n.</math>. Ponadto <math>Du := D_x u = (u_{x_1}, ...\dots, u_{x_n})</math> oznacza [[Gradient (matematyka)|gradient]] funkcji <math>u</math> względem zmiennych przestrzennych <math>x = (x_1,\ldotsdots, x_n).</math>. Zmienną <math>t</math> interpretujemy jako czas.
 
=== Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu ===
Przypomnijmy następującą definicję: '''Całkami pierwszymi''' układu równań różniczkowych zwyczajnych
: {{Wzór|<math>\frac{dx_k}{dx_1}=\frac{X_k(x_1, \ldotsdots, x_n)}{X_1(x_1, \ldotsdots, x_n)}</math> dla <math>2\leqslant k \leqslant n</math> (*)|1}}
 
nazywamy funkcje
: <math>c_k=\psi_k(x_1, \ldotsdots, x_n)</math> dla <math>1\leqslant k\leqslant n-1,</math>,
 
powstałe całkowania równań w powyższym układzie.
 
Jeśli funkcje <math>X_1, \ldotsdots, X_n</math> są klasy <math>C^1</math> w pewnym obszarze <math>D\subseteq \mathbb{R}^n</math> oraz <math>X_1\neq 0</math> wtedy każde rozwiązanie <math>u(x_1, \ldotsdots, x_n)</math> równania
: <math>X_1(x_1, \ldotsdots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_1}+\ldots + X_n(x_1, \ldotsdots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_n}=0</math>
 
można zapisać w postaci
: <math>u(x_1, \ldotsdots, x_n)=\Phi(\psi_1, \ldotsdots, \psi_{n-1}),</math>, gdzie <math>\psi_1,\ldotsdots, \psi_{n-1}</math> są całkami pierwszymi układu (*){{LinkWzór|1}} a <math>\Psi</math> jest dowolną funkcją klasy <math>C^1</math> <math>(''n''-1)</math>-zmiennych.
 
=== Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe ===
Linia 49 ⟶ 54:
=== Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe ===
# Nieliniowe [[Równanie różniczkowe Poissona|równanie Poissona]]: <math>-\Delta u = f(u)</math>
# Równanie [[WilliamRównanie Rowan Hamilton|Hamiltona-Jacobiego]]-Jacobiego: <math>u_t + H(Du,x) = 0</math>
# Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: <math>u_t - \Delta u = f(u)</math>
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Równanie_różniczkowe_cząstkowe”