Wikipedia

Funkcja ograniczona: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m drob
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
m drobne redakcyjne
Linia 1:
{{Funkcje matematyczne}}
'''Funkcja ograniczona''' – [[funkcja (matematyka)|funkcja]], której wszystkie wartości należą do pewnego [[przedział (matematyka)|przedziału skończonego]].
 
Funkcję nie będącą ograniczoną nazywa sięFunkcją '''nieograniczoną'''. Zdefiniowaćnazywa jąsię możnafunkcję, która nie jest ograniczona. inaczejRównoważnie: jest to funkcja, której [[zbiór wartości funkcji|zbiór wartości]] nie zawiera się w żadnym [[zbiór skończony|skończonym]] przedziale.
 
==Ograniczoność z góry i z dołu==
Funkcję, której przeciwdziedziną jest [[przestrzeń metryczna]] nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należą do pewnej [[kula|kuli]]. Natomiast funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbiór wartości nie zawiera się w żadnej kuli.▼
Funkcję nazwiemy '''ograniczoną z góry''', jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Analogicznie:Podobnie funkcja jest '''ograniczona z dołu''', jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem, funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczonyograniczona z góry i z dołu.▼
 
▲Funkcję nazwiemy '''ograniczoną z góry''' jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Analogicznie: funkcja jest '''ograniczona z dołu''' jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem, funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.
 
==Ciągi ograniczone==
Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w naturalny sposób na ciągi. Wyłącznie ciągi ograniczone może mieć skończone [[granica ciągu|granice]].
Szczególnym przypadkiem funkcji ograniczonych są ciągi ograniczone.
 
==Topologia==
Tylko ciąg ograniczony może mieć skończoną [[granica ciągu|granicę]].
▲Funkcję, której przeciwdziedziną jest [[przestrzeń metryczna]] nazywamy ograniczoną, gdy wszystkie jej wartości należązawierają dosię w pewnej [[kula|kuli]]. NatomiastAnalogicznie funkcję nazywamy nieograniczoną, gdy jej zbiórzbioru wartości nie zawierada się zamknąć w żadnej kuli.
 
==Przykłady==
* funkcje ''<math>sin''</math> i ''<math>cos''</math> są ograniczone &ndash;– wszystkie ich wartości należą do przedziału <math>[-2, 2]</math> (oczywiście,a równieżnawet do przedziału <math>[-1, 1]</math>).
* funkcje <math>yf(x) = x,</math>\; <math>yf(x) = x^2</math> (ogólnie - wszystkie niestałe [[wielomian]]y) niestopnia niezerowego) są ograniczonenieograniczone.
* ciąg <math>1, {1/ \over 2}, {1/ \over 3}, {1/ \over 4}, {1/ \over 5},... \dots</math> jest ograniczony, bogdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału <math>[0, 1]</math>.
* ciąg <math>1, 2, 3, 4,... ,\dots</math> choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony (boz niegóry, zatem jest ograniczony z góry)nieograniczony.
* ciąg <math>-1, -3, -5, -7, ...\dots</math> nie jest ograniczony z dołu, jest natomiast ograniczonyposiada zograniczonie górygórne.
 
== Zobacz też ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[ciąg (matematyka)|ciąg]].
 
[[Kategoria:Topologia]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_ograniczona”