Ortogonalność: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 9 bajtów ,  3 lata temu
m
drobne redakcyjne
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
m (Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy)
m (drobne redakcyjne)
Elementy <math>x</math> i <math>y</math> [[przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnej]] <math>X</math> z iloczynem skalarnym <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> nazywa się '''ortogonalnymi''', gdy
: <math>\langle x, y \rangle = 0.</math>
 
Relację <math>\langle x, y \rangle = 0</math> zapisuje się symbolicznie <math>x\perp y</math>. Podzbiór <math>A</math> przestrzeni unitarnej <math>X</math> nazywa się '''układem ortogonalnym''', gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.
 
Długość [[wektor]]a <math>a = [a_x, a_y, a_z]</math> w [[baza (przestrzeń liniowa)|trójwymiarowej]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] wyraża się wzorem
: <math>| a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}</math>.
 
Jeżeli <math>a = [a_x, a_y, a_z]</math> i <math>b = [b_x, b_y, b_z]</math> są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora <math>c=b-a</math> wynosi
: <math>|c| = |b - a| = \sqrt{(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2}.</math>
 
Liczby <math>|a|, |b|, |c|</math> są długościami boków [[trójkąt]]a <math>{oab}</math>, gdzie <math>o = (0, 0, 0)</math>.
[[Plik:Triangulo rectangulo.PNG|thumb|right|200px|Trójkąt prostokątny o bokach <math>\scriptstyle \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c.</math>]]
Wektory <math>a, b</math> są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt <math>oab</math> jest [[trójkąt prostokątny|prostokątny]], a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]] zależności:
: <math>|c|^2 = |a|^2 + |b|^2\,</math>
 
tzn.
: <math>(b_x - a_x)^2 + (b_y - a_y)^2 + (b_z - a_z)^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\,</math>
 
Zastosowanie [[wzory skróconego mnożenia|wzoru na kwadrat różnicy]] do powyższej równości implikuje równość
: <math>-2a_x b_x - 2a_y b_y - 2a_z b_z = 0\,</math>,
 
która upraszcza się do wyrażenia
: <math>a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\,</math>.
 
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na [[iloczyn skalarny]] wektorów <math>a</math> i <math>b</math> w przestrzeni trójwymiarowej.
 
Wektory <math>[-1, 3]</math> i <math>[3, 1]</math> na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ
:<math>[-1, 3] \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = -1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0</math>.
 
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
 
W przypadku, gdy <math>[a, b] = [-\pi, \pi],</math>, to rodzina funkcji
:<math>\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt \pi}\colon n\in \mathbb N\right\}</math>
 
jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. [[wielomiany Legendre'a]] czy [[wielomiany Czebyszewa]].