Przestrzeń T4: Różnice pomiędzy wersjami

Mówi się, że w [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] ''<math>X''</math> ''rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte'' jeśli dla każdych rozłącznych [[Zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]] ''<math>E'', ''F'' ⊆\subseteq ''X''</math> można znaleźć takie rozłączne [[Zbiór otwarty|zbiory otwarte]] ''<math>U'', ''V'' ⊆\subseteq ''X''</math> że

[[Plik:Normal space.svg|thumb|Zbiory domknięte ''<math>E''</math> i ''<math>F'',</math> przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte ''<math>U''</math> i ''<math>V'',</math> przedstawione tutaj jako większe okręgi]]

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że zbiory domknięte ''<math>E'', ''F''</math> są rozdzielone przez otoczenia otwarte ''<math>U'', ''V''.</math>

Przestrzeń topologiczna ''<math>X''</math> jest '''przestrzenią normalną''' (albo ''T''<submath>4T_4</submath>) wtedy i tylko wtedy, gdy ''<math>X''</math> jest [[Przestrzeń T1|przestrzenią ''T''₁]] w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów '''przestrzeń normalna''' i '''przestrzeń ''T''₄''' w literaturze. Na przykład [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowski]] w swojej monografii<ref>K. Kuratowski, ''Topology''; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966., Stronas. 121.</ref> definiuje

Z drugiej strony [[Ryszard Engelking|Engelking]] definiuje<ref>R. Engelking, ''General Topology'';, Helderman, Berlin, 1989., Stronas. 40., {{ISBN|3-88538-006-4}}.</ref>

* ''bycie przestrzenią normalną'' i ''bycie przestrzenią ''T''₄'' jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

* Jeśli [[hipoteza continuum|CH]] jest prawdziwa i <math>p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N},</math>, to

:: <math>(\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N})\setminus\{p\}</math>

: '''nie''' jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie <math>\beta {\mathbb N}</math> jest [[Uzwarcenie Čecha-Stone’a|uzwarceniem Čecha-Stone’a]] dyskretnej przestrzeni <math>{\mathbb N}</math> liczb [[liczby naturalne|naturalnych]].

: Jeśli ''<math>X''</math> jest przestrzenią normalną i ''<math>E'', ''F'' ⊆\subseteq ''X''</math> są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje taka funkcja ciągła

:: <math>F:X\longrightarrow [0,1]</math>

: że ''<math>f''(''x'') = 0</math> dla ''<math>x'' ∈\in ''E''</math> oraz ''<math>f''(''x'') = 1</math> dla ''<math>x'' ∈\in ''F''.</math>

: Jeśli ''<math>X''</math> jest przestrzenią normalną, ''<math>F'' ⊆\subseteq ''X''</math> jest jej podzbiorem domkniętym i

:: <math>f:F\longrightarrow{\mathbb R}</math>

: jest [[Funkcja ciągła|funkcją ciągłą]], to istnieje funkcja ciągła

:: <math>g:X\longrightarrow {\mathbb R}</math>

: przedłużająca ''<math>f''</math> (tzn. ''<math>g''(''x'') = ''f''(''x'')</math> dla wszystkich ''<math>x'' ∈\in ''F''</math>).

* Podprzestrzeń przestrzeni normalnej nie musi być normalna (czyli własność ''być przestrzenią normalną'' '''nie''' jest własnością dziedziczną). Także [[iloczyn kartezjański]] (z [[Topologia produktowa|topologią Tichonowa]]) przestrzeni ''T''<submath>4T_4</submath> '''nie''' musi być przestrzenią ''T''<submath>4T_4.</submath>.

=== Produkty przestrzeni normalnych ===

[[Prosta Sorgenfreya]] ''<math>X''</math> jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat ''<math>X'' ×\times ''X''</math> nie jest normalny. [[Arthur Harold Stone|A.H. Stone]] udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną<ref>A.H. Stone, [http://www.ams.org/journals/bull/1948-54-10/S0002-9904-1948-09118-2/S0002-9904-1948-09118-2.pdf Paracompactness and product spaces], ''Bull„Bull. Amer. Math. Soc.''”, '''54''' (1948), 977–982.</ref>. Założenia metryczności nie można pominąć, gdyż produkt ''ω''₂<sup>ω<sub>1</submath>{\omega_2}^{\omega_1}</supmath> jest przestrzenią normalną.

* [[przestrzeń Tichonowa]] (''T''<submath>(T_{3½{^1\!/_2}}\!)</submath>),

* [[Przestrzenie T5 i T6|przestrzeń dziedzicznie normalna]] (''T''<submath>5(T_5)</submath>).