Diagram przemienny: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 77 bajtów ,  3 lata temu
m
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
(drobne redakcyjne)
m (WP:SK+Bn)
'''Diagram przemienny''' – w [[matematyka|matematyce]], a szczególnie jej dziale nazywanym [[teoria kategorii|teorią kategorii]], [[diagram (teoria kategorii)|diagram]] składający się z obiektów (nazywanych również ''wierzchołkami'') i [[morfizmKategoria (matematyka)|morfizmów]]ów (znanych także jako ''strzałki'' lub ''krawędzie''), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na [[kategoria (matematyka)|składanie]] morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają w teorii kategorii rolę analogiczną do [[równanie|równań]] w [[algebra|algebrze]].
 
== Przykłady ==
W następującym przykładzie przedstawiającym [[Twierdzenie o izomorfizmie|pierwsze twierdzenie o izomorfizmie]] przemienność oznacza, że <math>f = \tilde{f} \circ \pi{:}</math>:
: [[Plik:First isomorphism theorem (plain).svg|175px]]
 
Niżej znajduje się standardowy kwadrat przemienny, w którym <math>h \circ f = k \circ g.</math>.
: [[Plik:Commutative square.svg|150px]]
 
=== Symbole ===
W tekstach algebraicznych rodzaj [[morfizmKategoria (matematyka)|morfizmu]]u może być oznaczony różnymi typami strzałek: [[monomorfizm]]y za pomocą <math>\hookrightarrow,</math>, [[epimorfizm]]y za pomocą <math>\twoheadrightarrow,</math>, a [[izomorfizm]]y za pomocą <math>\overset{\sim}{\rightarrowto}.</math>. Przerywana strzałka zwykle oznacza, że w danym diagramie postuluje się istnienie wskazanego morfizmu. Jest to na tyle popularne, że w tekstach nie tłumaczy się rodzajów strzałek.
 
== Sprawdzanie przemienności ==
Przemienność ma sens dla [[wielobokWielokąt|wieloboku]]u dowolnej skończonej liczbie boków (włączając w to nawet 1 i 2), a diagram jest przemienny, jeżeli każdy poddiagram wieloboczny jest przemienny.
 
== Dowodzenie ==
Popularną metodą [[dowód (matematyka)|dowodzenia]], szczególnie w [[algebra homologiczna|algebrze homologicznej]], jest tzw. ''diagram chasing'' (ściganie [elementów] po diagramie). Dla danego diagramu przemiennego „dowód przez ściganie” polega na formalnym wykorzystaniu jego własności, takich jak [[funkcja różnowartościowa|iniektywność]], czy [[funkcja „na”|suriektywność]] przekształceń albo [[Ciąg dokładny |ciągi dokładne]]. W wyniku tego postępowania konstruuje się [[sylogizm]], dla którego graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest tylko pomocą wzrokową. Nazwa ma swoje źródło w metodzie dowodzenia: „ściga” się elementy po całym diagramie, aż skonstruuje się upragniony element lub sprawdzi poprawność wyniku.
 
== Linki zewnętrzne ==