Skończenie generowana grupa przemienna: Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>(G, +)</math> będzie przemienna. Grupę tę nazywa się '''skończenie generowaną''', jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów <math>x_1, \ldotsdots, x_s \in G,</math>, że każdy <math>x \in G</math> może być zapisany jako

: <math>x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots n_s x_s,</math>,

gdzie <math>n_1, \ldotsdots, n_s</math> są [[liczby całkowite|całkowite]]. Wtedy mówi się, że zbiór <math>\{x_1, \ldotsdots, x_s\}</math> jest ''[[zbiór generatorów grupy|zbiorem generującym]] (generatorów)'' <math>G</math> lub że <math>x_1, \ldotsdots, x_s</math> ''generują'' <math>G.</math>.

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

* Grupa <math>(\mathbb Q, +)</math> [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] nie jest skończenie generowana: niech <math>x_1, \ldotsdots, x_s</math> będą liczbami wymiernymi, a <math>w</math> [[liczby naturalne|liczbą naturalną]] [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwszą]] z mianownikami liczb <math>x_1, \ldotsdots, x_s,</math>, wtedy przedstawienie elementu <math>\tfrac{1}{w}</math> za pomocą <math>x_1, \ldotsdots, x_s</math> okazuje się niemożliwe.

'''Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych''' ([[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]] i [[Ludwig Stickelberger|Stickelberger]], 1878), będące szczególnym przypadkiem [[twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych|twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych]] (twierdzenia Frobeniusa o równoważności [[macierz]]y nad [[pierścień liczb całkowitych|pierścieniem liczb całkowitych]])<ref>L. Fuchs, ''Infinite abelian groups'', Academic Press 1970, tw. III.15.2.</ref>, może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla [[Pierścień ideałów głównych|d.i.g.]]). Jego szczególnym przypadkiem jest [[Grupa przemienna#Skończone grupy przemienne|twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych]]. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w [[informatyka|informatyce]]: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być [[obliczenia równoległe|wykonywane równolegle]] (tzn. niezależnie od siebie).

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa <math>G</math> jest izomorficzna z [[iloczyny grup#Suma prosta|sumą prostą]] [[grupa cykliczna|cyklicznych grup]] o rzędach będącymi potęgami [[liczbyLiczba pierwszepierwsza|liczb pierwszych]] oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

: <math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{q_t},</math>,

gdzie <math>n \geqslant 0,</math>, a liczby <math>q_1, \ldotsdots, q_t</math> są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności <math>G</math> jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n = 0.</math>. Wartości <math>n, q_1, \ldotsdots, q_t</math> są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez <math>G.</math>.

: <math>\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{k_u},</math>,

gdzie <math>k_1</math> [[dzielenie|dzieli]] <math>k_2,</math>, które dzieli <math>k_3</math> i tak dalej, aż do <math>k_u.</math>. Znowu, liczby <math>n, k_1, \ldotsdots, k_u</math> są jednoznacznie wyznaczone przez <math>G</math> (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane [[czynnik niezmienniczy|czynnikami niezmienniczymi]], tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są [[izomorfizm|izomorficzne]] wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba <math>n</math> jest równa [[ranga grupy abelowej|randze grupy abelowej]].

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy [[chińskie twierdzenie o resztach|chińskiego twierdzenia o resztach]], które mówi w tym wypadku, że <math>\mathbb Z_m</math> jest izomorficzna z iloczynem prostym <math>\mathbb Z_j</math> przez <math>\mathbb Z_k</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>j</math> oraz <math>k</math> są [[liczby względnie pierwsze|względnie pierwsze]] i <math>m = jk.</math>.

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą [[grupa abelowa wolna|grupy abelowej wolnej]] skończonej [[grupa abelowa wolna|rangi]] i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest [[podgrupa torsyjna|podgrupą torsyjną]] <math>G.</math>. Ranga <math>G</math> jest określona jako ranga beztorsyjnej części <math>G;</math>; tzn. jest to liczba <math>n</math> w powyższych wzorach.

Każda [[podgrupa]] i [[grupa ilorazowa]] skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z [[homomorfizmyHomomorfizm grup|homomorfizmami grupowymi]] stanowią [[kategoria przemienna|kategorię przemienną]], będącą [[podkategoria|podkategorią Serre'aSerre’a]] [[kategoria grup przemiennych|kategorii grup abelowych]].

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi <math>\mathbb Q</math> jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wielu]] egzemplarzy <math>\mathbb Z_2.</math>.

* [[twierdzenie Jordana-Höldera]] jako uogólnienie na grupy nieprzemienne.