Elementy minimalny i maksymalny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Zastępowanie przestarzałej składni LaTeX zgodnie z mw:Extension:Math/Roadmap |
|||
Linia 1:
'''Elementem minimalnym''' w [[częściowy porządek|zbiorze częściowo uporządkowanym]] <math>(P, \leqslant)</math> nazywamy każdy taki element <math>x,</math>
: <math>\forall y \in P : y \leqslant x \Rightarrow x = y.</math>
Dualnie, '''elementem maksymalnym''' w zbiorze częściowo uporządkowanym <math>(P, \leqslant)</math> nazywamy każdy taki element <math>x,</math>
: <math>\forall y \in P : x \leqslant y \Rightarrow x = y.</math>
== Uwagi ==
* W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
* Element minimalny nie musi być [[
Te same własności ma element maksymalny.
== Przykłady ==
* Rozważmy zbiór <math>\mathbb{N}</math> <math>\cup</math> <math>\{-1\},</math>
:: <math>a\preccurlyeq b \iff ( a\leqslant b,\,
: Z definicji wynika m.in., że <math>-1 \preccurlyeq -1,\,\, 3 \preccurlyeq 7</math> i nieprawda, że np. <math>-1 \preccurlyeq 2.</math>
: Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są {{nowrap|−1 oraz 1}}. W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego.
* W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku
:: „Białka” < „Dunajec” < „Wisła”
:: „Poprad” < „Dunajec” < „Wisła”
::
::
:: „Otava” < „Wełtawa” < „Łaba”
: Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów, a elementu najmniejszego nie ma (byłaby nim rzeka wpadająca do każdej innej – bezpośrednio lub poprzez inny dopływ).
: Uwaga: aby uznać ten przykład za poprawny model, należałoby przyjąć, że każda rzeka wpada do siebie samej.
== Zobacz też ==
* [[elementy najmniejszy i największy]]
* [[funkcje minimum i maksimum]]
[[Kategoria:Porządki]]
| |||