Dyskretyzacja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 189 bajtów ,  3 lata temu
m
Nie podano opisu zmian
m (WP:SK+Bn)
{{dopracować|definicja}}
'''Dyskretyzacja''' – pojęcie dotyczące procesu transformowania modeli i równań [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na ich dyskretne odpowiedniki. Jest to zwykle pierwszy krok w procesie przygotowywania tych modeli (i równań) do [[metodyMetoda numerycznenumeryczna|ewaluacji numerycznej]] i implementacji na [[komputer cyfrowyKomputer|komputerach cyfrowych]]. Do przetwarzania na komputerze cyfrowym ponadto potrzebne jest wykonanie [[Kwantyzacja (technika)|kwantyzacji]].
 
Szczególnie istotne są tu:
* dyskretyzacja Eulera (zob. [[metoda Eulera]]),
* [[ekstrapolator rzędu zerowego]] ({{ang.|Zero-order hold, ZOH}}).
 
[[Plik:Finite element solution.svg|right|thumb|Rozwiązanie zdyskretyzowanego [[równanie różniczkowe cząstkowe|cząstkowego równania różniczkowego]], uzyskane za pomocą [[metoda elementów skończonych|metody elementów skończonych]]]]
Dyskretyzacja związana jest także z [[matematyka dyskretna|matematyką dyskretną]] i jest ważną częścią komputerowych [[obliczenia ziarniste|obliczeń ziarnistych]] stosowanych w [[Mechanika komputerowa|mechanice komputerowej]]. W tym kontekście ''dyskretyzacja'' odnosi się także do modyfikacji zmiennej w kategorii ''ziarnistości'' gdy agreguje się wiele zmiennych dyskretnych albo dokonuje się fuzji wielu kategorii dyskretnych.
 
{{osobny artykuł|Metoda Eulera}}
Można wykonać projekt [[układ regulacji ciągłej|układu sterowania ciągłego]] i zaimplementować go w [[układ dyskretny|układzie dyskretnym]] stosując metody aproksymacji [[równanie różniczkowe|równań różniczkowych]]. Pewnym szczególnym sposobem realizacji aproksymaty dla komputera cyfrowego w celu rozwiązania równania różniczkowego jest [[metoda Eulera]]. Metoda ta może być wyprowadzona z następującej definicji [[różniczka|różniczki]]:
: <math>\dot{x}=\lim_{\delta t \to 0} \frac{\delta x}{\delta t},</math>
 
gdzie <math>\delta x</math> jest zmianą zmiennej <math>x</math> w czasie <math>\delta t.</math> <math>\delta t</math> nie musi być całkiem równe zero by zależność ta mogła być prawdziwa po zastosowaniu podanych niżej aproksymat. W samej metodzie Eulera wyróżnić można dwie metody:
:<math>\dot{x}=\lim_{\delta t \to 0} \frac{\delta x}{\delta t}\,</math>
 
gdzie <math>\delta x\,</math> jest zmianą zmiennej <math>x\,</math> w czasie <math>\delta t\,</math>. <math>\delta t\,</math> nie musi być całkiem równe zero by zależność ta mogła być prawdziwa po zastosowaniu podanych niżej aproksymat. W samej metodzie Eulera wyróżnić można dwie metody:
* aproksymację prostokątną w przód (ang. ''forward rectangular rule'') dla której:
: <math>\dot{x}(k)=\frac{x(k+1)-x(k)}{T}\,</math>
 
gdzie <math>k\,</math> jest liczbą całkowitą, <math>T=t_{k+1}-t_{k}\,</math> jest okresem próbkowania i <math>t_{k}=kT\,</math>, <math>x(k)\,</math> i <math>x(k+1)\,</math> wartościami funkcji <math>x\,</math> w chwilach odpowiednio <math>t_{k}\,</math> i <math>t_{k+1}\,</math>
gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą, <math>T=t_{k+1}-t_k</math> jest okresem próbkowania i <math>t_k=kT,</math> <math>x(k)</math> i <math>x(k+1)</math> wartościami funkcji <math>x</math> w chwilach odpowiednio <math>t_k</math> i <math>t_{k+1}</math>
 
* aproksymację prostokątną wstecz (ang. ''backward rectangular rule'') dla której:
: <math>\dot{x}(k)=\frac{x(k)-x(k-1)}{T}\,</math>
 
gdzie <math>k\,</math> jest liczbą całkowitą, <math>T=t_{k}-t_{k-1}\,</math> jest okresem próbkowania i <math>t_{k}=kT\,</math>, <math>x(k)\,</math> i <math>x(k-1)\,</math> wartościami funkcji <math>x\,</math> w chwilach odpowiednio <math>t_{k}\,</math> i <math>t_{k-1}\,</math>
gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą, <math>T=t_k-t_{k-1}</math> jest okresem próbkowania i <math>t_k=kT,</math> <math>x(k)</math> i <math>x(k-1)</math> wartościami funkcji <math>x</math> w chwilach odpowiednio <math>t_k</math> i <math>t_{k-1}</math>
 
Aproksymacje te mogą być zastosowane w miejscach wszystkich różniczek, które występują w równaniach różniczkowych regulatora. W ten sposób uzyskuje się zbiór [[równanie algebraiczne|równań algebraicznych]], które mogą być rozwiązane przez komputer cyfrowy. Równania te znane są jako [[równanie różnicowe|równania różnicowe]] i są rozwiązywane cyklicznie (z dyskretnym krokiem czasowym o długości <math>T</math>).
w równaniach różniczkowych regulatora. W ten sposób uzyskuje się zbiór [[równanie algebraiczne|równań algebraicznych]], które mogą być rozwiązane przez komputer cyfrowy. Równania te znane są jako [[równanie różnicowe|równania różnicowe]] i są rozwiązywane cyklicznie (z dyskretnym krokiem czasowym o długości <math>T\,</math>).
 
== Dyskretne równoważniki transmitancji operatorowej ==
W [[teoria sterowania|teorii sterowania]], metodę projektowania [[układ dyskretny|układów dyskretnych]] polegająca na zaprojektowaniu kompensatora czasu ciągłego, a następnie zastąpieniu go równoważnikiem dyskretnym tak by można go zaimplementować w urządzeniu cyfowym nazywa się ''emulacją''. Metoda ta jest bardzo szeroko używana przez inżynierów praktyków. Przydatne stają się wówczas dyskretne równoważniki transmitancji operatorowej.
 
Dyskretne równoważniki transmitancji operatorowej to transmitancje dyskretne, które aproksymują te same charakterystyki (w pewnym zakresie częstotliwości) jak dana transmitancja czasu ciągłego <math>G(s)\,.</math>. Można w tym celu zastosować poniższe metody realizujące to zadanie:
* [[całkowanie numeryczne]] - w metodzie tej przeprowadza się całkowanie numeryczne równań różniczkowych opisujących wykonany projekt czasu ciągłego. Istnieje wiele technik pozwalających na całkowanie numeryczne w tym [[metoda Eulera]] i techniki oparte na regułach prostokąta i trapezu.
* dyskretyzacja [[odpowiedźCharakterystyka impulsowa|odpowiedzi impulsowej]] - w metodzie tej wyznacza się dla transmitancji ciągłej <math>G(s)\,</math> odpowiedz impulsową, którą następnie dyskretyzuje się. Ostatecznie dla dyskretnej odpowiedzi impulsowej wyznacza się transmitancję dyskretną <math>G(z) = Z[G(s)]\,.</math>.
* przekształcenie zerowo-biegunowe - w metodzie tej porównuje się [[płaszczyzna S|dziedzinę "s"„s”]] oraz [[płaszczyzna Z|dziedzinę "z"„z”]]. Odpowiedź układu ciągłego z biegunem w pewnym punkcie <math>s = s_{0}\,s_0</math> w układzie [[próbkowanie|spróbkowanym]] z okresem próbkowania <math>T\,</math> reprezentowana jest przez odpowiedź [[układ dyskretny|układu dyskretnego]] z [[biegunWartość własna układu|biegunem]] w punkcie <math>z = e^{s_{0}s_0 T}\,.</math>. Ta własność może być wykorzystana do przekształcenia zer i biegunów, które aproksymują układ dyskretny.
* równoważność ekstrapolacji - metoda ta polega na pobieraniu próbek sygnału wejściowego, następnie ekstrapolacji pomiędzy próbkami do postaci aproksymacji sygnału i przesyłaniu tych aproksymacji przez transmitancję układu.
 
=== Całkowanie numeryczne ===
Całkowanie numeryczne jest zadaniem dość złożonym. Najbardziej elementarne techniki z tego zakresu to reguły o małej złożoności i ustalonym rozmiarze kroku. W metodzie tej daną transmitancję układu ciągłego <math>G(s)</math> zastępuje się przez równanie różniczkowe, a następnie wyprowadza się równania różnicowe będące aproksymacją równań różniczkowych.
ciągłego <math>G(s)\,</math> zastępuje się przez równanie różniczkowe a następnie wyprowadza się równania różnicowe będące aproksymacją równań różniczkowych.
 
Niech dana będzie transmitancja integratora analogowego:
: <math>G(s)= \frac {U(s)}{E(s)}= \frac{1}{s}\,</math>
 
gdzie <math>E(s)\,</math> oraz <math>U(s)\,</math> są odpowiednio transformatami wejścia i wyjścia integratora. Dla integratora tego można określić równoważne równanie różniczkowe
gdzie <math>E(s)</math> oraz <math>U(s)</math> są odpowiednio transformatami wejścia i wyjścia integratora. Dla integratora tego można określić równoważne równanie różniczkowe
:<math>\frac {du(t)}{dt}= e(t)\,</math>
: <math>\frac{du(t)}{dt}= e(t),</math>
 
które można zapisać w postaci całkowej:
: <math>u(t)=\int\limits_0^t e(\tau) d\tau\,.</math>
 
Wiele reguł opiera się na właściwej sobie metodzie aproksymacji składnika powiększania pola (pod krzywą funkcji, która w powyższym wzorze podlega całkowaniu). Należą do nich:
* reguła prostokąta wprzód,
* reguła prostokąta wstecz,
* reguła trapezu.
 
W regule prostokątnej wprzód obszar aproksymuje się przez prostokąt wyznaczany wprzód od chwili kT do chwili kT+T i bierze jako amplitudę prostokąta wartość napotkaną w kT. Szerokość takiego prostokąta wynosi T. Można więc zapisać równanie w pierwszej aproksymacji:
: <math>u_{1}u_1 (kT + T) = u_{1}u_1 (kT)+ Te(kT)\,</math>
 
gdzie wyrażenie <math>u_{1}(kT)\,</math> reprezentuje obszar pod całkowaną krzywą e(t) w przedziale od t = 0 do t = kT. Po zastosowaniu [[transformata Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
gdzie wyrażenie <math>u_1(kT)</math> reprezentuje obszar pod całkowaną krzywą e(t) w przedziale od t = 0 do t = kT. Po zastosowaniu [[Transformacja Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
:<math>G_{F}(z)= \frac {U_{1}(z)}{E(z)}= \frac{T}{z-1} = \frac{1}{\frac{z-1}{T}}\,</math>.
: <math>G_F(z)= \frac{U_1(z)}{E(z)}= \frac{T}{z-1} = \frac{1}{\frac{z-1}{T}}.</math>
 
W regule prostokątnej wstecz obszar aproksymuje się przez prostokąt wyznaczany wstecz od chwili kT do kT-T i bierze jako amplitudę prostokąta wartość napotkaną w kT. Szerokość takiego prostokąta wynosi T. Można więc zapisać równanie w pierwszej aproksymacji:
: <math>u_{2}u_2 (kT) = u_{2}u_2 (kT-T)+ Te(kT)\,.</math>
 
Po zastosowaniu [[transformata Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
Po zastosowaniu [[Transformacja Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
:<math>H_{B}(z)= \frac {U_{2}(z)}{E(z)}= \frac{zT}{z-1} = \frac{1}{\frac{1}{T}\frac{z-1}{z}}\,</math>
: <math>H_B(z)= \frac{U_2(z)}{E(z)}= \frac{zT}{z-1} = \frac{1}{\frac{1}{T}\frac{z-1}{z}}.</math>
 
W regule trapezu obszar aproksymuje się przez pole trapezu umieszczonego pod całkowaną krzywą. Równanie aproksymacji ma wówczas postać:
: <math>u_3 (kT+T) = u_3 (kT)+ \frac{T}{2} [e(kT)+e(kT+1)].</math>
 
Po zastosowaniu [[Transformacja Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
: <math>H_T(z)= \frac{U_3(z)}{E(z)}= \frac{T}{2}\frac{z+1}{z-1} = \frac{1}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}}.</math>
 
Metoda reguły trapezu jest również znana jako [[metoda Tustina]] lub pod nazwą transformacji biliniowej (zob. też [[płaszczyzna w]]). Metoda projektowania wykorzystująca tę regułę polega na tym, że daną transmitancję ciągłą, <math>G(s),</math> równoważną transmitancja dyskretnej wyznacza się przez podstawienie:
W regule trapezu obszar aproksymuje się przez pole trapezu umieszczonego pod całkowaną krzywą. Równanie aproksymacji ma wówczas postać :
: <math>u_{3} G_T(kT+Tz) = u_{3} G(kTs)+ |_{s=\frac {2}{T}\frac{2z-1} [e(kT)+e(kT{z+1)]\,}}.</math>
Po zastosowaniu [[transformata Z|transformaty Z]] do powyższej zależności otrzymuje się:
:<math>H_{T}(z)= \frac {U_{3}(z)}{E(z)}= \frac{T}{2}\frac{z+1}{z-1} = \frac{1}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}}\,</math>
Metoda reguły trapezu jest również znana jako [[metoda Tustina]] lub pod nazwą transformacji biliniowej (zob. też [[płaszczyzna w]]). Metoda projektowania wykorzystująca tę regułę polega na tym, że daną transmitancję ciągłą, <math>G(s)\,</math>, równoważną transmitancja dyskretnej wyznacza się przez podstawienie:
:<math>G_{T}(z)=G(s)|_{s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}}\,</math>
 
Każda z powyższych aproksymacji może być potraktowana jako przekształcenie [[płaszczyzna S|płaszczyzny s]] na [[Płaszczyzna Z|płaszczyznę z]].
 
Porównując transmitancje operatorowe z trzema aproksymacjami dyskretnymi można zauważyć, że transmitancję dyskretną można uzyskać bezpośrednio z transformaty operatorowej podstawiając za zmienną zespoloną "s"„s” jej aproksymatę.
 
W przypadku reguły prostokąta wprzód jest to podstawienie <math>s \leftarrow \frac{z-1}{T}.</math>
<math> s \leftarrow \frac{z-1}{T}\,</math>
 
W przypadku reguły prostokąta wstecz jest to podstawienie <math>s \leftarrow \frac{z-1}{Tz}.</math>
<math> s \leftarrow \frac{z-1}{Tz}\,</math>
 
W przypadku reguły trapezu jest to podstawienie <math>s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}.</math>
<math> s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\,</math>.
 
Szczególnie interesujące jest to, że reguła bilinearna odwzorowuje stabilną półpłaszczyznę <math>s</math> dokładnie na stabilny obszar [[płaszczyzna Z|płaszczyzny z]], przy tym cała oś <math>j\omega</math> [[płaszczyzna S|płaszczyzny s]] jest skompresowana na długości obwodu [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]].
dokładnie na stabilny obszar [[płaszczyzna Z|płaszczyzny z]], przy tym cała oś <math>j\omega\,</math> [[płaszczyzna S|płaszczyzny s]] jest skompresowana na długości obwodu [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]].
 
== Dyskretyzacja modelu układu liniowego w przestrzeni stanów ==
Dyskretyzacja stosowana jest też przy transformacji ciągłych [[równaniaRównanie różniczkowe|równań różniczkowych]] do [[Dyskretny|dyskretnychdyskretny]]ch [[równanie różnicowe|równań różnicowych]], odpowiednich dla [[analiza numeryczna|analizy numerycznej]].
 
Następujący [[Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)|model zmiennych stanu]] [[układ regulacji ciągłej|czasu ciągłego]]
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf A \mathbf{x}(t) + \mathbf B \mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf C \mathbf{x}(t) + \mathbf D \mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t),</math>
 
gdzie <math>v</math> i <math>w</math> to źródła ciągłego [[Szum biały|szumu białego]] o zerowej średniej z [[kowariancja]]mi
:<math>\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf A \mathbf{x}(t) + \mathbf B \mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t)</math>
: <math>\mathbf{yw}(t) = \mathbfsim C \mathbf{x}N(t) + 0,\mathbf D \mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(tQ),</math>
: <math>\mathbf{v}(t) \sim N(0,\mathbf R),</math>
 
można zdyskretyzować, przyjmując [[ekstrapolator rzędu zerowego]] dla wejścia <math>u</math> i ciągłe całkowanie dla szumu <math>v,</math> do postaci:
gdzie <math>v\,</math> i <math>w\,</math> to źródła ciągłego [[Szum biały|szumu białego]] o zerowej średniej z [[kowariancja]]mi
: <math>\mathbf{x}[k+1] = \mathbf A_d \mathbf{x}[k] + \mathbf B_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{w}[k],</math>
 
: <math>\mathbf{wy}(t)[k] = \simmathbf C_d N(0,\mathbf{x}[k] Q)+ \mathbf D_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{v}[k]</math>
:<math>\mathbf{v}(t) \sim N(0,\mathbf R)</math>
 
można zdyskretyzować, przyjmując [[ekstrapolator rzędu zerowego]] dla wejścia <math>u\,</math> i ciągłe całkowanie dla szumu <math>v\,</math>, do postaci:
 
:<math>\mathbf{x}[k+1] = \mathbf A_d \mathbf{x}[k] + \mathbf B_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{w}[k]</math>
:<math>\mathbf{y}[k] = \mathbf C_d \mathbf{x}[k] + \mathbf D_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{v}[k]</math>
 
z [[kowariancja]]mi
: <math>\mathbf{w}[k] \sim N(0,\mathbf Q_d),</math>
 
: <math>\mathbf{wv}[k] \sim N(0,\mathbf Q_dR_d),</math>
:<math>\mathbf{v}[k] \sim N(0,\mathbf R_d)</math>
 
gdzie:
: <math>\mathbf A_d = e^{\mathbf A T} = \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1}\}_{t=T},</math>
: <math>\mathbf B_d = \left( \int_{\tau=0}^T e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B = \mathbf A^{-1}(\mathbf A_d - I)\mathbf B,</math> jeśli <math>\mathbf A</math> jest [[Macierz odwrotna|nieosobliwa]],
: <math>\mathbf C_d = \mathbf C,</math>
: <math>\mathbf D_d = \mathbf D,</math>
: <math>\mathbf Q_d = \int_{\tau=0}^T e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^T \tau} d\tau,</math>
: <math>\mathbf R_d = \mathbf R,</math>
 
a <math>T</math> jest czasem próbkowania.
:<math>\mathbf A_d = e^{\mathbf A T} = \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1}\}_{t=T} </math>
:<math>\mathbf B_d = \left( \int_{\tau=0}^{T}e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B = \mathbf A^{-1}(\mathbf A_d - I)\mathbf B </math>, jeśli <math>\mathbf A</math> jest [[macierz nieosobliwa|nieosobliwa]]
:<math>\mathbf C_d = \mathbf C </math>
:<math>\mathbf D_d = \mathbf D </math>
:<math>\mathbf Q_d = \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^T \tau} d\tau </math>
:<math>\mathbf R_d = \mathbf R </math>
 
Zręczne wyliczenie <math>Ad</math> i <math>Bd</math> w jednym kroku można wykonać korzystając z następującej własności:
a <math>T\,</math> jest czasem próbkowania.
: <math>\mathbf e^{\mathbf \begin{bmatrix}
 
\mathbf{A} & \mathbf{B} \\
Zręczne wyliczenie <math>Ad\,</math> i <math>Bd\,</math> w jednym kroku można wykonać korzystając z następującej własności:
\mathbf{0} & \mathbf{0}
 
:<math>\mathbf e^{\mathbf \beginend{bmatrix} \mathbf{AT} &= \mathbfbegin{Bbmatrix} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix} T} = \begin{bmatrix} \mathbf{M_{11}} & \mathbf{M_{12}} \\
\mathbf{0} & \mathbf{I} \end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>
 
i wówczas mając:
: <math>\mathbf A_d = M_{11} ,</math>
: <math>\mathbf B_d = M_{12} .</math>
 
=== Dyskretyzacja szumu procesu ===
Numeryczna ewaluacja <math>\mathbf{Q}_d</math> jest nieco bardziej złożona z uwagi na całkę [[eksponenta macierzy|eksponenty macierzy]]. Można ją, jednakże, wyliczyć poprzez skonstruowanie najpierw macierzy, a następnie wyliczenie na komputerze jej eksponenty:
: <math>\mathbf{F} = \begin{bmatrix}
-\mathbf{A} & \mathbf{Q} \\
\mathbf{0} & \mathbf{A}^T
\end{bmatrix} T</math>
: <math>\mathbf{G} = e^\mathbf{F} = \begin{bmatrix}
\dots & \mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d \\
\mathbf{0} & \mathbf{A}_d^T
\end{bmatrix}.</math>
 
:<math> \mathbf{F} =
\begin{bmatrix} -\mathbf{A} & \mathbf{Q} \\
\mathbf{0} & \mathbf{A}^T \end{bmatrix} T</math>
:<math> \mathbf{G} = e^\mathbf{F} =
\begin{bmatrix} \dots & \mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d \\
\mathbf{0} & \mathbf{A}_d^T \end{bmatrix}.</math>
Zdyskretyzowany szum procesu jest wówczas wyliczany poprzez przemnożenie transponowanej dolnej, prawej partycji macierzy '''G''' z górną, prawą partycją macierzy '''G''':
: <math>\mathbf{Q}_d = (\mathbf{A}_d^T)^T (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d). </math>
 
=== Wyprowadzenie ===
Rozpoczynając z modelem ciągłym
: <math>\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t)</math>
 
wiadomo, że [[eksponenta macierzy]] jest następująca:
: <math>\frac{d}{dt}e^{\mathbf At} = \mathbf A e^{\mathbf At} = e^{\mathbf At} \mathbf A</math>
 
i przez wcześniejsze przemnożenie modelu uzyskuje się:
: <math>e^{-\mathbf At} \mathbf{\dot{x}}(t) = e^{-\mathbf At} \mathbf A\mathbf x(t) + e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t),</math>
 
co zapisać można jako
: <math>\frac{d}{dt}(e^{-\mathbf At}\mathbf x(t)) = e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t),</math>
 
a następnie całkując:
: <math>e^{-\mathbf At}\mathbf x(t) - e^0\mathbf x(0) = \int_0^t e^{-\mathbf A\tau}\mathbf B\mathbf u(\tau) d\tau,</math>
: <math>\mathbf x(t) = e^{\mathbf At}\mathbf x(0) + \int_0^t e^{\mathbf A(t-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau,</math>
 
co jest rozwiązaniem analitycznym dla modelu ciągłego.
 
Teraz należy zdyskretyzować powyższe wyrażenie. Można przyjąć, że <math>u\,</math> jest [[stałaStała matematyczna(matematyka)|stała]] podczas każdego kroku czasowego.
: <math>\mathbf x[k] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf x(kT),</math>
: <math>\mathbf x[k] = e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau,</math>
: <math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau,</math>
: <math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[ e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau.</math>
 
Wyrażenie w nawiasie można zapisać jako <math>\mathbf x[k]</math> a drugie wyrażenie można uprościć przez podstawienie <math>v = kT + T - \tau</math>. Ponadto można przyjąć, że <math>\mathbf u</math> jest stałe podczas całkowania, co z kolei daje:
Wyrażenie w nawiasie można zapisać jako <math>\mathbf x[k]</math> a drugie wyrażenie można uprościć przez podstawienie <math>v = kT + T - \tau.</math> Ponadto można przyjąć, że <math>\mathbf u</math> jest stałe podczas całkowania, co z kolei daje:
:<math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k]=e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-I \right) \mathbf B\mathbf u[k]</math>
: <math>\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k]=e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-I \right) \mathbf B\mathbf u[k],</math>
co stanowi dokładne rozwiązanie dyskretyzowanego problemu.
 
co stanowi dokładne rozwiązanie dyskretyzowanego problemu.
 
=== Aproksymacje ===
Dokładna dyskretyzacja czasami może być trudna z uwagi na dużą [[eksponenta macierzy|eksponentę macierzy]] i związane z tym operacje całkowania. Znacznie łatwiej wyliczyć, w oparciu o nią, przybliżony model dyskretny dla małych kroków czasowych <math>e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T.</math>. Przybliżone rozwiązanie przyjmuje wówczas postać:
: <math>\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + (\mathbf I T + \frac{1}{2} \mathbf A T^2 ) \mathbf B \mathbf u[k] ,</math>
 
co można dalej aproksymować jeśli <math>\frac{1}{2} \mathbf A T^2</math> jest małe; co daje:
: <math>\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + T\mathbf B \mathbf u[k] .</math>
 
Inne możliwe aproksymacje to: <math>e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I - \mathbf A T \right)^{-1}</math> i <math>e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I +\frac{1}{2} \mathbf A T \right) \left( \mathbf I - \frac{1}{2} \mathbf A T \right)^{-1}.</math>. Każda z nich ma inne własności związane ze stabilnością. Ostatnia znana jest jako [[Metoda Tustina|transformacja Tustina]] (transformacja bilinearna) i zachowuje [[Stabilność układu automatycznej regulacji|stabilność]] lub odpowiednio niestabilność układu czasu ciągłego.
 
== Dyskretyzacja własności ciągłych ==
{{osobny artykuł|Dyskretyzacja (statystyka)}}
W [[statystyka|statystyce]] i w [[uczenie maszynowe|uczeniu maszynowym]] termin ''dyskretyzacja'' odnosi się do procesu konwersji ciągłych własności lub zmiennych na zdyskretyzowane lub nominalne własności. Może to być użyteczne przy tworzeniu masowych funkcji prawdopodobieństwa.
 
== Zobacz też ==
* [[przestrzeń dyskretna]]
* [[przestrzeń czasowa]]
* [[przestrzeń dyskretna]]
 
[[Kategoria:Matematyka dyskretna]]