Wersja z 19:40, 22 mar 2019 edytuj 87.204.29.10 (dyskusja) →‎Definicja: Bycie klasy C^n nie mówi nic o pochodnych rzędu wyższego, niż n - w szczególności nie rozstrzyga ich istnienia. Totalna głupota Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 22:28, 13 cze 2019 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 001 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: {{Funkcje matematyczne}} '''Funkcja różniczkowalna''' – [[funkcja]], która ma [[Pochodna funkcji\|pochodną]] w każdym punkcie swej [[Funkcja\|dziedziny]], której wartość w każdym punkcie jest skończona (różna od <math>{\infty}</math> i <math>-{\infty}</math>). W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie. Linia 7: '''Definicja:''' '''(1)''' Jeżeli funkcja <math>f</math> ma pochodną <math>g\equiv f^{\,'}</math> określoną w zbiorze <math>A</math> oraz funkcja <math>g</math> ma pochodną <math>h\equiv g^{\,'}</math> określoną w zbiorze <math> B \subset A </math> to mówimy, że * <math>f</math> jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze <math>B,</math>, * funkcja <math>h</math> jest drugą pochodną funkcji <math>f</math> określoną na zbiorze <math>B.</math>. '''(2)''' Funkcję nazywa się <math>n</math>-krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje <math>n</math> kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji. == Funkcja klasy <math>C^{n}</math> == === Motywacja === Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy <math>C^1,</math>, w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy <math>C^0.</math>. Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna <math>n</math>-tego rzędu była [[Funkcja ciągła\|ciągła]] -– stąd ogólna definicja funkcji klasy <math>C^n.</math>. Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą [[Wzór Taylora#Szereg Taylora\|analityczność]]. === Definicja === '''(1)''' Funkcję <math>f</math> określoną na przedziale <math>(a,b)</math> nazywa się funkcją klasy <math>C^n,</math>, gdzie <math>n=1,2,\dots,</math>, jeżeli w przedziale <math>(a,b)</math> ma <math>n</math> ciągłych pochodnych. '''(2)''' Funkcje klasy <math>C^0</math> to funkcje ciągłe. '''(3)''' Funkcje klasy <math>C^{\infty}</math> (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę <math>C^\infty</math> nazywa się też klasą funkcji '''gładkich'''. === Przykłady === * Funkcja klasy <math>C^{1}(\mathbb{R})</math> jest funkcją ciągłą, której pochodna też jest ciągła. * [[Wielomian]]y, [[Funkcja wykładnicza\|funkcje wykładnicze]], [[Funkcje trygonometryczne\|sinus i cosinus]], [[Funkcje hiperboliczne\|sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny i tangens hiperboliczny]], są funkcjami klasy <math>C^{\infty}(\mathbb{R}).</math>. * Funkcja <math>f(x)=\|x\|</math> jest klasy <math>C^{0}(\mathbb{R}),</math>, ale nie klasy <math>C^{1}(\mathbb{R}).</math>. * Funkcja dana wzorem: : <math>f(x) = \begin{cases} ~~: <math> f(x) = \begin{cases}~~ x^3\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mathrm{gdy\ } x \ne 0, \\ 0, & \mathrm{gdy\ } x = 0 \end{cases}</math> jest klasy <math>C^{1}(\mathbb{R}),</math>, ale nie jest klasy <math>C^{2}(\mathbb{R}).</math> == Zobacz też ==

Funkcja różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami