Zasada dobrego uporządkowania: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
|||
Linia 1:
'''Zasada dobrego uporządkowania''' – reguła matematyczna mówiąca, że każdy [[zbiór pusty|niepusty]] [[podzbiór]] zbioru [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] zawiera element [[elementy najmniejszy i największy|najmniejszy]]<ref>{{cytuj książkę |
Wyrażenie „zasada dobrego uporządkowania” traktowana jest czasami jako synonim wyrażenia „[[twierdzenie Zermela|twierdzenie o dobrym uporządkowaniu]]”. Niekiedy rozumie się przez nie stwierdzenie, iż zbiór liczb całkowitych zawiera podzbiór [[dobry porządek|dobrze uporządkowany]], nazywany liczbami naturalnymi, w którym każdy niepusty podzbiór zawiera element najmniejszy.
Linia 6:
* W [[arytmetyka Peana|arytmetyce Peana]], [[arytmetyka drugiego rzędu|arytmetyce drugiego rzędu]] i podobnych systemach oraz w większości (niekoniecznie formalnych) podejść matematycznych do zasady dobrego uporządkowania jest ona konsekwencją zasady [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]], która z kolei przyjęta jest jako [[pojęcie pierwotne]].
* Traktując liczby naturalne jako podzbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] i przyjmując, że wiadomo, iż są one [[przestrzeń zupełna|zupełne]] (jako przestrzeń; raz jeszcze na podstawie aksjomatu lub twierdzenia), tzn. każdy [[zbiór ograniczony]] z dołu ma [[kresy dolny i górny|kres dolny]], można dowieść, że każdy zbiór <math>A</math> liczb naturalnych ma kres dolny, dalej oznaczany <math>a^*.</math> Wystarczy teraz znaleźć taką liczbę całkowitą <math>n^*,</math> dla której <math>a^*</math> leży w przedziale <math>(n^* - 1, n^*],</math> a następnie pokazać, że musi zachodzić <math>a^* = n^*,</math> przy czym <math>n^* \in A.</math>
* W [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatycznej teorii mnogości]] liczby naturalne definiowane są jako najmniejszy [[zbiór induktywny]] (tzn. zbiór zawierający 0 i zamknięty ze względu na operację [[następnik liczby porządkowej|następnika]]). Można pokazać (nawet bez odwoływania się do [[aksjomat regularności|aksjomatu regularności]]), że zbiór wszystkich liczb naturalnych o własności „<math>
Przytoczone wyżej wyrażenie wykorzystuje się też czasem w celu uzasadnienia dowodów następującej postaci: aby dowieść, że każda liczba naturalna należy do określonego zbioru <math>S</math> załóżmy przeciwnie i wywnioskujmy dzięki temu istnienie (niezerowego) najmniejszego kontrprzykładu. W dalszej kolejności wystarczy pokazać, że musi istnieć również mniejszy kontrprzykład albo, że najmniejszy kontrprzykład nim nie jest, co w obu przypadkach daje sprzeczność. Ten rodzaj argumentacji ma ten sam związek z dowodem przez [[indukcja matematyczna|indukcję matematyczną]], co „jeśli nie B, to nie A” (reguła ''[[modus tollens]]'') w stosunku do „jeśli A, to B” (reguła ''[[modus ponens]]''). Metoda ta jest podobna do „[[metoda nieskończonego schodzenia|metody nieskończonego schodzenia]]” [[Pierre de Fermat|Fermata]].
| |||