Wersja z 01:17, 3 sie 2019 edytuj Sinousty (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 2099 edycji →‎Dowód Pietra Mengolego: Nie można pisać, że "… ostatecznie otrzymał liczbę większą niż...", bo żadnej liczby otrzymać nie mógł. Taka liczba przecież nie istnieje! Dowód liczący sobie prawie 4 wieki wypadałoby tu zreferować we współczesnym języku matematyki. ← poprzednia edycja		Wersja z 01:28, 3 sie 2019 edytuj anuluj edycję Sinousty (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 2099 edycji →‎Dowód Mikołaja z Oresme: Tutaj też jedzie się „po bandzie” stosując jakieś nierówności między nieskończonymi sumami. Uściślam cały wywód. następna edycja →
Linia 10: === Dowód Mikołaja z Oresme === ~~Poniższy~~Pomysł ~~dowód~~poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od [[Mikołaj z Oresme\|Mikołaja z Oresme]] i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki:. ~~: <math>\begin{align}~~ &1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots \\▼ ={} &1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots \\▼ ~~>{} &1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots \\~~ ={} &1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots▼ ~~\end{align}</math>~~ Kolejne składniki (od drugiego począwszy) grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia. ~~Ponieważ suma liczb w każdym nawiasie wynosi ½, ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy skończonej{{odn\|Fichtenholz\|1966\|s=226}}.~~ ▲~~={}~~: &<math>1+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots+ \left(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\dots+\frac{1}{2^{n+1}}\right)+\dots </math> Ponieważ : <math>\frac{1}{2}\geqslant\frac{1}{2}</math> ▲~~={}~~: ~~&1+~~<math>\frac{1}{23}+~~\left(~~\frac{1}{24}~~\right)+\left(~~>\frac{1}{2}~~\right)+\dots~~</math> ▲~~&1+~~: <math>\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\frac{1}{47}+\frac{1}{58}+>\frac{1}{62}~~+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots~~ \\</math> i ogólnie : <math>\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\dots+\frac{1}{2^{n+1}}>\frac{1}{2}, </math> więc : <math>S_{2^n}\geqslant 1+\tfrac{1}{2}n</math> Oznacza to, że ciąg sum częściowych <math>S_i</math> jest rozbieżny do <math>\infty</math>.{{odn\|Fichtenholz\|1966\|s=226}}. === Dowód Pietra Mengolego ===

Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami