Wnętrze (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 72 bajty ,  2 lata temu
m
(drobne techniczne)
m (WP:SK+Bn)
[[Plik:Otoczenia.svg|thumb|300px|Punkt ''W'' jest punktem wewnętrznym figury.]]
'''Wnętrze''' [[zbiór|zbioru]] (figury, bryły) ''F'' – pojęcie w [[geometria|geometrii]] lub [[Topologia|topologii]], zbiór tych [[Punkt (geometria)|punktów]] [[Przestrzeń (matematyka)|przestrzeni]], które należą do zbioru ''F'' wraz z pewnym swoim [[otoczenieOtoczenie punktu(matematyka)|otoczeniem]].
 
Wnętrze zbioru ''F'' oznaczamy Int(''F''), int(''F'') lub ''F''°. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy '''punktami wewnętrznymi''' zbioru.
# Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w ''F''.
# Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
# Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: {{nowrap|1=int(int(''S'')) = int(''S'')}}.
# Jeżeli ''S'' jest podzbiorem ''F'', to int(''S'') jest podzbiorem int(''F''): {{nowrap|''S'' ⊂ ''F'' ⇒ int(''S'') ⊆ int(''F'') }}.
# Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: {{nowrap|1=int(''S'' ∩ ''F'') = int(''S'') ∩ int(''F'')}}
# Jeżeli ''S'' jest zbiorem otwartym, to ''S'' jest podzbiorem ''F'' wtedy i tylko wtedy, gdy ''S'' jest podzbiorem int(''F'').
 
 
=== Pozostałe własności ===
# <math> \operatorname{Int}\; A \cup \operatorname{Int}\; B \subset \operatorname{Int}\; (A \cup B)</math> dla dowolnych zbiorów <math>A \subset X,\ B \subset X</math>
# <math> \bigcup_{s \in S} \operatorname{Int}\; A_s \subset \operatorname{Int}\; \left( \bigcup_{s \in S} A_s \right)</math> dla dowolnej rodziny zbiorów <math>\{A_s \subset X: s \in S\}</math>
# Dla każdego <math>A \subset X</math> mamy <br /> <math>\operatorname{Int}\; A = X \setminus \operatorname{cl}\; (X \setminus A)</math>
# <math>A \subset X \Rightarrow \operatorname{Int}\; A \subset \operatorname{Int}\;\operatorname{cl}\; (A)</math> <br />przykład:<br /> <math>\operatorname{Int}\; \mathbb{Q} = \varnothing \subset \operatorname{Int}\; \operatorname{cl}\;(\mathbb{Q}) = \mathbb{R}</math>
 
== Operacja wnętrza a topologia ==
== Przykłady ==
* W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
* W [[przestrzeń topologicznaPrzestrzeń dyskretna|przestrzeni dyskretnej]] każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
* Niech ''R'' oznacza zbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z naturalną topologią. Wówczas:
** wnętrzem [[przedział (matematyka)|przedziału domkniętego]] [''a'', ''b''] jest przedział otwarty (''a'', ''b'')
** wnętrzem zbioru [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] także jest zbiór pusty
** zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.
 
 
== Zobacz też ==
* [[ZewnętrzeBrzeg (topologiamatematyka)|zewnętrzebrzeg]]
* [[brzeg (topologia)|brzegzewnętrze]]
 
== Przypisy ==