Wnętrze (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 509 bajtów ,  2 lata temu
m
m (WP:SK+Bn)
m (WP:SK+Bn)
[[Plik:Otoczenia.svg|thumb|300px|Punkt ''<math>W''</math> jest punktem wewnętrznym figury]]
'''Wnętrze''' [[zbiór|zbioru]] (figury, bryły) ''<math>F''</math> – pojęcie w [[geometria|geometrii]] lub [[Topologia|topologii]], zbiór tych [[Punkt (geometria)|punktów]] [[Przestrzeń (matematyka)|przestrzeni]], które należą do zbioru ''<math>F''</math> wraz z pewnym swoim [[Otoczenie (matematyka)|otoczeniem]].
 
Wnętrze zbioru ''<math>F''</math> oznaczamy Int<math>\operatorname{int}(''F''),</math> int<math>\operatorname{Int}(''F'')</math> lub ''<math>F''°^\circ.</math> Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy '''punktami wewnętrznymi''' zbioru.
 
== Własności ==
Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.
# Wnętrze zbioru ''<math>F''</math> jest [[zbiór otwarty|otwartym podzbiorem]] ''<math>F''.</math>
# Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów ''<math>F''.</math>
# Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w ''<math>F''.</math>
# Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
# Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: <math>1 = \operatorname{int}(\operatorname{int}(''S'')) = \operatorname{int}(''S'').</math>
# Jeżeli ''<math>S''</math> jest podzbiorem ''<math>F'',</math> to <math>\operatorname{int}(''S'')</math> jest podzbiorem <math>\operatorname{int}(''F''): ''S'' \subset ''F'' \Rightarrow \operatorname{int}(''S'') \subseteq \operatorname{int}(''F'').</math>
# Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: <math>1 = \operatorname{int}(''S'' \cap ''F'') = \operatorname{int}(''S'') \cap \operatorname{int}(''F'').</math>
# Jeżeli ''<math>S''</math> jest zbiorem otwartym, to ''<math>S''</math> jest podzbiorem ''<math>F''</math> wtedy i tylko wtedy, gdy ''<math>S''</math> jest podzbiorem <math>\operatorname{int}(''F'').</math>
 
Wnętrze zbioru zależy od [[Przestrzeń topologiczna|topologii]] – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.
 
W [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] punkt ''<math>p''</math> zbioru ''<math>F''</math> jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje [[kula]] o środku w punkcie ''<math>p''</math> całkowicie zawarta w zbiorze ''<math>F''.</math>
 
=== Pozostałe własności ===
# <math>\operatorname{Intint}\; A \cup \operatorname{Intint}\; B \subset \operatorname{Intint}\; (A \cup B)</math> dla dowolnych zbiorów <math>A \subset X,\ B \subset X</math>
# <math>\bigcup_{s \in S} \operatorname{Intint}\; A_s \subset \operatorname{Intint}\; \left( \bigcup_{s \in S} A_s \right)</math> dla dowolnej rodziny zbiorów <math>\{A_s \subset X: s \in S\}</math>
# Dla każdego <math>A \subset X</math> mamy<br /><math>\operatorname{Intint}\; A = X \setminus \operatorname{cl}\; (X \setminus A)</math>
# <math>A \subset X \Rightarrow \operatorname{Intint}\; A \subset \operatorname{Intint}\;\operatorname{cl}\; (A)</math><br />przykład:<br /><math>\operatorname{Intint}\; \mathbb{Q} = \varnothing \subset \operatorname{Intint}\; \operatorname{cl}\;(\mathbb{Q}) = \mathbb{R}</math>
 
== Operacja wnętrza a topologia ==
Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek <math>\operatorname{int}(''X'')=''X'',</math> gdzie ''<math>X''</math> oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania [[Przestrzeń topologiczna#Określenie operacji wnętrza|topologii przez operację wnętrza]] w zbiorze ''<math>X''</math><ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Engelking |imię = Ryszard| |autor link = Ryszard Engelking |tytuł = Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47 |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |rok = 1975| strony = 37}}</ref>.
 
== Przykłady ==
* W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
* W [[Przestrzeń dyskretna|przestrzeni dyskretnej]] każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
* Niech ''<math>R''</math> oznacza zbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z naturalną topologią. Wówczas:
** wnętrzem [[przedział (matematyka)|przedziału domkniętego]] <math>[''a'', ''b'']</math> jest przedział otwarty <math>(''a'', ''b'')</math>
** wnętrzem przedziału <math>[''a'', ''b'')</math> jest przedział <math>(''a'', ''b'')</math>
** wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
** wnętrzem zbioru [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest zbiór pusty