Zginanie: Różnice pomiędzy wersjami

'''Zginanie''' (gięcie) – [[Odkształcenie|deformacja]] ciała ([[pręt]]a, [[płyta|płyty]], [[powłoka|powłoki]]), która polega na zmianie [[krzywizna krzywej|krzywizny]] jego osi lub powierzchni środkowej{{r|Timo}}. W [[przekroje poprzeczne|przekrojach poprzecznych]] elementów zginanych występuje nierównomierność (liniowa zmienność) rozkładu [[naprężenie normalne|naprężeń normalnych]], spowodowana działaniem momentów zginających te przekroje<ref name="Piech">S. Piechnik, ''Wytrzymałość materiałów'', s. 167–237, Warszawa-Kraków 1980, Wyd. PWN.</ref>.

We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych <math>0xyzOxyz,</math> związanym z przekrojem poprzecznym pręta i utożsamianym z układem jego [[pręt (mechanika)|osi głównych, centralnych]]. Oś <math>0xOx</math> pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś <math>0yOy</math> – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś <math>0zOz</math> – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.

* '''Zginanie czyste''' (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, [[siły wewnętrzne]] redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju pręta{{r|Piech}}. Jeżeli ten wektor ma '''dwie, różne od zera''' składowe <math>M_y</math> i <math>M_z</math> (liczone względem [[pręt (mechanika)|głównych centralnych osi bezwładności]] <math>0yOy, 0zOz</math>), to zginanie takie jest '''ukośne''' (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. <math>M_z = 0,</math> zginanie jest '''płaskie''' (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie <math>0zxOzx.</math> [[naprężenie normalne|Naprężenia normalne]] <math>\sigma_n,</math> w przypadku czystego zginania, określone są przez [[siły przekrojowe]] wzorem

: w którym przez <math>I_y, I_z</math> oznaczono [[GeometrycznyGeometryczne momentmomenty bezwładności|główne centralne momenty bezwładności]] przekroju pręta.

* '''Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe''' jest superpozycją działania momentów zginających <math>M_y</math> i <math>M_z</math> z działaniem siły podłużnej <math>N.</math>. Naprężenie normalne określone jest [[siły przekrojowe|wzorem]]{{r|Piech}}

: Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta.

: Maksymalne [[naprężenie]] normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla <math>z_{max}</math> i wynosi:

W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi <math>0yOy,</math> otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia <math>\epsilon_x</math> wzdłuż wysokości przekroju pręta

gdzie <math>I_y</math> jest [[GeometrycznyGeometryczne momentmomenty bezwładności|momentem bezwładności]] względem osi <math>0yOy</math> pręta.

Analizując równowagę elementu o długości <math>dx</math> wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym <math>q_z(x),</math> dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie <math>\;0zx\;Ozx</math> do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym ([[twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego]])

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi <math>0yOy</math> tzn. w płaszczyźnie <math>0zxOzx,</math> ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej <math>w(x)</math> o [[krzywizna krzywej|krzywiźnie]] <math>\kappa(x).</math> Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.

Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami <math>A,\ B</math> element o długości <math>dx.</math> Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje <math>A,\ B</math> obracają się względem siebie o kąt <math>d\varphi</math> i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie <math>O</math> odległym o <math>\rho</math> od osi <math>0xOx.</math> Odległość tę nazywamy [[krzywizna krzywej|''promieniem krzywizny'']], przy czym zachodzi związek <math>\kappa = \tfrac{1}{\rho}.</math> Wydłużenie „włókna” położonego w odległości <math>z</math> od osi obojętnej przekroju wynosi <math>\Delta dx.</math>

W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału <math>[x_0,\,x]</math> osi <math>0xOx</math> pręta pryzmatycznego, na długości którego <math>q(x)=q=\mathrm{const},</math> można napisać

gdzie przez <math>\;w_0,\, w^'_0,\,Q_0,\,M_0\;</math> oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie <math>\;x_0\;</math> na osi pręta.

Dana jest [[prętPręt pryzmatyczny(mechanika)|pryzmatyczna]] (<math>(EI_y(x)=const)</math>) [[belki proste|belka wspornikowa]] o długości <math>L</math> utwierdzona na prawym końcu (<math>(x=L)</math>) i zginana w płaszczyźnie <math>0xzOxz</math> obciążeniem o wartości ''q'' stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:

:: <math>M_y(0) = Q_z(0) = w(L) = w^{'}(L) = 0,</math>

:: <math>w(0)=\frac{1}{8}\frac{qL^4}{EI_y},\quad w^'(0)= -\frac{1}{6}\frac{qL^3}{EI_y},\quad M_y(L)=\frac{1}{2}qL^2,\quad Q_z(L)=qL.</math>