Transformata z gwiazdką: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m poprawa linków |
m drobne techniczne |
||
Linia 1:
'''Transformata z gwiazdką''', '''transformata gwiazdkowana''' (ang. ''star transform'', ''starred transform'') – [[układ dyskretny|dyskretnoczasowa]] wersja [[Transformacja Laplace’a|transformaty Laplace'a]] reprezentująca [[próbkowanie|idealny układ próbkujący]] z okresem <math>T\,</math>.
Transformata z gwiazdką podobna jest do [[Transformacja Z|transformaty Z]] ze zwykłą zamianą zmiennych, ale transformata z gwiazdką w sposób jawny identyfikuje każdą próbkę w wyrażeniach okresu próbkowania <math>T\,</math> podczas, gdy transformata Z odnosi się tylko do każdej próbki poprzez wartość indeksu liczb całkowitych.
Nazwa ''transformata z gwiazdką'' powstała z uwagi na to, że w notacji tej transformaty (podobnie jak w przypadku notacji sygnału spróbkowanego) stosuje się bardzo często gwiazdkę.
'''Odwrotność transformaty z gwiazdką''' reprezentuje sygnał spróbkowany z okresem <math>T\,</math>. Odwrotna transformata z gwiazdką nie jest oryginalnym sygnałem, ale zamiast tego spróbkowaną wersją sygnału oryginalnego.
Zależność pomiędzy poszczególnymi reprezentacjami można zapisać następująco:
: <math>x(t) \rightarrow X^*(s) \rightarrow x^*(t)</math>
== Definicja ==
Transformatę z gwiazdką formalnie można zdefiniować jako:
: <math>X^*(s) = \sum_{k=0}^\infty x(kT) e^{-kTs}</math>,
aby lepiej pokazać związek z transformatą Laplace'a powyższe równanie można też zapisać:
: <math>F^*(s) = \mathcal{L}^*[f(t)] = \sum_{k = 0}^\infty f(kT)e^{-kTs}</math>.
Linia 26 ⟶ 23:
lub
: <math>X^*(s)=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^\infty X(s+jm\omega_s)+\frac{x(0)}{2}</math>,
Linia 33 ⟶ 29:
== Związek z transformatą Z ==
Związek transformaty gwiazdkowanej z [[transformata Z|transformatą Z]] można pokazać poprzez następujące podstawienie zmiennych:
: <math>\,z = e^{Ts}</math>
Warto przy tym zauważyć, że w dziedzinie transformaty Z traci się informację o okresie próbkowania <math>T\,</math>.
== Własności transformaty z gwiazdką ==
'''Własność 1'''
<math>\,X^*(s)</math> jest okresowa na [[płaszczyzna S|płaszczyźnie]] S z okresem <math>\,j\omega_s</math>.
Linia 45 ⟶ 40:
: <math>\,X^*(s+jm\omega_s) = X^*(s)</math>
'''Własność 2'''
Jeśli <math>\,X(s)</math> ma [[biegun układu|biegun]] w punkcie <math>\,s=s_1</math>, wówczas <math>\,X^*(s)</math> ma [[biegun układu|bieguny]] dla <math>\,s=s_1 + jm\omega_s</math>, gdzie <math>\,m=0,\pm1,\pm2,...</math>.
Linia 51 ⟶ 46:
== Zobacz też ==
* [[transformata]]
[[Kategoria:Transformaty]]
[[Kategoria:Teoria sterowania]]
| |||