Twierdzenie Jegorowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne merytoryczne |
drobne redakcyjne |
||
Linia 3:
== Dowód ==
Niech <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mu)</math> będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz <math>(f_n)</math> będzie ciągiem prawie wszędzie skończonych funkcji mierzalnych określonych na <math>\Omega,</math> zbieżnym prawie wszędzie do prawie wszędzie skończonej funkcji mierzalnej <math>f.</math> Niech ponadto dla dowolnych liczb naturalnych <math>k</math> i <math>n</math> zdefiniowany będzie zbiór
: <math>B_{k,n} := \bigcap_{l=n}^\infty \
Przy dowolnych liczbach naturalnych <math>k</math> i <math>l</math> zachodzi
Ciąg <math>(f_n)</math> jest zbieżny prawie wszędzie do <math>f,</math> skąd dla każdego <math>k</math>
: <math>\lim_{n\to \infty}\mu\bigl(\Omega\setminus B_{k,n}\bigr)=\mu\left(\Omega\setminus \bigcup_{n\geqslant 1}B_{k,n}\right).</math>
Z powyższego wynika, że dla każdej liczby <math>\varepsilon>0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>n_k</math> (zależna od <math>\varepsilon</math> i <math>k</math>), że dla każdego <math>n\geqslant n_k</math> spełniona jest nierówność
: <math>\mu\left(\Omega\setminus B_{k,n}\right)<
Zbiór
Linia 18 ⟶ 17:
jest [[Przestrzeń mierzalna|mierzalny]] oraz
: <math>\mu\left(\Omega\setminus B\right)=\mu\left(\bigcup_{k\geqslant 1}\Omega\setminus B_{k, n_k}\right)\leqslant \sum_{k\geqslant 1}\mu\bigl(\Omega\setminus B_{k, n_k}\bigr)\leqslant \sum_{k\geqslant 1}\frac{\varepsilon}{2^k}=\varepsilon.</math>
== Zobacz też ==
| |||