Przestrzeń funkcyjna: Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>V</math> będzie [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad [[Ciało (matematyka)|ciałem]] <math>F,</math> zaś <math>X</math> – pewienpewnym zbiórzbiorem. ZbiorowiRozważmy zbiór funkcji <math>\{ f\colon X\to V \}</math>wówczas można'''przestrzenią nadaćfunkcyjną strukturę przestrzeni liniowejliniową''' nad ciałem <math>F</math>nazywamy definiującuporządkowaną czwórkę <math>(\{ f\colon X\to V \}, F, +, \cdot)</math> gdzie działania dodawania funkcji ioraz mnożenia funkcji przez skalar definiujemy następująco:

'''(1.1) Sumą funkcji''' Jeżeli <math>f, g\colon X\to V</math> nazywa się funkcję <math>h\colon X\to V</math> taką, że dla dowolnych <math>x \in X</math> spełniona jest zależność

: <math>h(x)= f(x) + g(x).</math>

Wtedy pisze się <math>h= f + g.</math>

'''(1.2) Iloczynem funkcji <math>f\colon X\to V</math> przez skalar''' <math>c \in F</math> nazywa się funkcję <math>h\colon X\to V</math> taką, że dla dowolnych <math>x \in X</math> spełniona jest zależność

: <math>h(x)= c\cdot f(x).</math>

Wtedy pisze się <math>h= c\cdot f.</math>

{{osobny artykuł|liniowa niezależność}}'''(2.1)''' Funkcje <math>f_1,f_2,\dots, f_n</math> nazywa się '''liniowo niezależnymi''' jeżeli żadnej z tych funkcji nie da się przedstawić w postaci [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] pozostałych funkcji.

'''(2.2) Bazą''' przestrzeni funkcyjnej nazywa się zbiór liniowo niezależnych funkcji danej przestrzeni.

'''(3.1)''' Zbiór <math>C[0, 1]</math> wszystkich [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na [[odcinek|odcinku]] domkniętym <math>[0, 1]</math> nad ciałem liczb rzeczywistych <math>\mathbb R</math> tworzy przestrzeń funkcyjną liniową z działaniadziałaniami dodawania funkcjachfunkcji i'''(1.1)''' oraz mnożenia funkcji przez skalar zdefiniowanymi jak wyżej'''(1.2)'''.

'''(3.2)''' Jako bazę przestrzeni można wybrać np. [[funkcja potęgowa|funkcje potęgowe]] określone na zbiorze <math>[0, 1],</math> tj. <math>f_n\colon [0, 1]\to \mathbb R, f_n(x)= x^n,\; n \in \mathbb N.</math>

'''(2.3)''' Funkcje te są liniowo niezależne, a każdą funkcję ciągłą można wyrazić za ich pomocą, np. [[funkcja wykładnicza]] wyraża się za pomocą funkcji potęgowych wzorem

'''(3.4)''' W przestrzeni tej można zdefiniować [[Przestrzeń unormowana|normę]] funkcji wzorem

'''(3.5)''' Odległość w przestrzeni jest w naturalny sposób zdefiniowana przez normę

'''(3.6)''' Można zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny np. za pomocą całki