Twierdzenie Plancherela: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 171 bajtów ,  2 lata temu
m
m (Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy)
m (WP:SK+Bn)
 
'''Twierdzenie Plancherela''' to twierdzenie z zakresu [[analiza harmoniczna|analizy harmonicznej]], udowodnione przez [[Michel Plancherel|Michela Plancherela]] w 1910 roku<ref>Plancherel, Michel (1910) "Contribution„Contribution a l'etudel’etude de la representation d'uned’une fonction arbitraire par les integrales définies," ''Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo'', vol. 30, pagess. 298-335298–335.</ref>. Głosi ono, że istnieje odwzorowanie <math>F : L^2 \to L^2</math> o następujących własnościach:
* dla <math>f \in L^1 \cap L^2,</math> jest <math>F(f) = \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx</math>
Głosi ono, że istnieje odwzorowanie <math>F : L^2 \rightarrow L^2</math> o następujących własnościach:
* dla dowolnej <math> f </math> jest <math>\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2</math>
* <math> F</math> jest izometrią przestrzeni <math> L^2 </math> na siebie
* jeśli <math>\varphi_A(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx</math> oraz <math>\vartheta_A(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A \hat{f}(x)\, e^{i \omega x}\, d \omega,</math>,
 
* dlato <math>\|\varphi_A - \hat{f} \in L^1|_2 \cap L^2to 0</math>, jestoraz <math>F(f) = \hat{f}(|\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}vartheta_A \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,|_2 e^{-i\to \omega0</math> przy <math>A x}\, dxto \infty.</math>
* dla dowolnej <math> f </math> jest <math>\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2</math>
* <math> F</math> jest izometrią przestrzeni <math> L^2 </math> na siebie
* jeśli <math>\varphi_A(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx</math> oraz <math>\vartheta_A(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A \hat{f}(x)\, e^{i \omega x}\, d \omega</math>,
to <math>\|\varphi_A - \hat{f} \|_2 \rightarrow 0 </math> oraz <math>\|\vartheta_A - f \|_2 \rightarrow 0 </math> przy <math> A \rightarrow \infty </math>
 
Przekształcenie <math> F </math> określa [[transformacja Fouriera|transformatę Fouriera]] (Fouriera-Plancherela) na przestrzeni <math>L^2.</math>. Na podprzestrzeni <math>L^1 \cap L^2 </math> jest to klasyczna transformata Fouriera funkcji całkowalnej. Ostatni podpunkt wskazuje metodę rozszerzenia transformaty i transformaty odwrotnej na całą <math> L^2 .</math>.
 
== Bibliografia ==
# {{cytuj książkę |nazwisko= Rudin |imię= Walter |autor link= Walter Rudin |tytuł= Analiza rzeczywista i zespolona |url= |data= |rok=1996 |miesiąc= |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |miejsce=Warszawa |id= |strony= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat = |isbn = 83-01-05124-8}}
# {{cytuj książkę |nazwisko= Yoshida |imię= Kôsaku|tytuł= Functional Analysis |url= |data= |rok=1980 |miesiąc= |wydawca=Springer-Verlag |miejsce=New York |id= |strony= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat =}}
 
== Zobacz też ==
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
 
== Bibliografia ==
#* {{cytuj książkę |nazwisko= Rudin |imię= Walter |autor link= Walter Rudin |tytuł= Analiza rzeczywista i zespolona |url= |data= |rok=1996 |miesiąc= |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |miejsce=Warszawa |id= |strony= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat = |isbn = 83-01-05124-8}}
#* {{cytuj książkę |nazwisko= Yoshida |imię= Kôsaku|tytuł= Functional Analysis |url= |data= |rok=1980 |miesiąc= |wydawca=Springer-Verlag |miejsce=New York |id= |strony= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat =}}
 
[[Kategoria:Analiza harmoniczna]]