Zbieżność punktowa: Różnice pomiędzy wersjami

'''Zbieżność punktowa ciągu funkcji''' – własność [[ciąg (matematyka)|ciągu]] [[funkcja (matematyka)|funkcji]] pomiędzy przestrzeniami [[Przestrzeń metryczna|metrycznymi]] opisywana w następujący sposób:.

Niech <math>(X, \rho_X)</math>, <math>(Y, \rho_Y)</math> będą przestrzeniami metrycznymi i niech <math>f_{n}: X \longrightarrowto Y</math> (dla <math>n \in \mathbb{ N}</math>). Powiemy, że ciąg funkcji <math>\left(f_n\right)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest '''zbieżny punktowo do funkcji <math>f: X \longrightarrowto Y</math>''', jeżeli

:<math>\forall _forall_{x \in X}\;\; \forall _forall_{\varepsilon > 0} \; \;\exists _exists_{n_0 \in \mathbb{ N}}\;\; \forall _forall_{n \geqge n_0} \quad \rho_Yvarrho_Y\left( f_n(x), f(x)\right)<\varepsilon.

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób: dla każdego <math>x_0\in X</math> istnieje [[Granica ciągu|granica]] <math>\lim\limits_{n \rightarrowto \infty} f_n (x_0)</math> i jest nią <math>f(x_0)</math>.

Jeśli ciąg funkcji <math>\left(f_n\right)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f</math>, to mówimy też, że '''<math>f</math> jest granicą punktową ciągu <math>\left(f_n\right)_{n \in {\mathbb N}}</math>'''.

[[Image:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|300px|right|Granica punktowa funkcji ciągłych nie musi być ciągła. Zielone (ciągłe) funkcje sin<supmath>''\sin^n''</sup>(''x'')</math> są punktowo zbieżne do nieciągłej funkcji czerwonej]]

* Granica punktowa ciągu funkcji [[funkcja ciągła|ciągłych]] '''nie''' musi być funkcją ciągłą. Na przykład, rozważmy funkcje <math>f_n: [0,\pi]\longrightarrowto [0,1]</math> dane przez formułę <math>f_n(x)=(\sin^n(x))^n</math> dla <math>x \in [0,\pi]</math> (gdzie <math>n \in {\mathbb N}</math>). Ciąg <math>(f_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f: [0,\pi] \longrightarrowto [0,1]</math> danej przez

:<math>f(x) = \left \begin{cases}

\end{matrixcases}

* Granica punktowa ciągu funkcji, które nie są [[Ciągłość funkcji w punkcie|ciągłe w żadnym punkcie]] może być ciągła. Rozważmy np [[Funkcja Dirichleta|funkcję Dirichleta]] <math>I_{\mathbb Q}</math> i połóżmy <math>f_n(x)=2^{-n}\cdot I_{\mathbb Q}(x)</math> dla <math>x \in {\mathbb R}</math>. Wówczas ciąg <math>(f_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji stałej <math>f(x)=0</math>.

*Przypuśćmy, że <math>f:{ \mathbb R} \longrightarrow{to \mathbb R}</math> jest funkcją [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalną]] i <math>g</math> jest [[Pochodna funkcji|funkcją pochodną]] funkcji <math>f</math>. Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe <math>g_n:{ \mathbb R} \longrightarrow{to \mathbb R}</math> (dla <math>n \in {\mathbb N}</math>) takie, że ciąg <math>(g_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest punktowo zbieżny do funkcji ''<math>g''</math>.

*Z [[Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa|twierdzenia Weierstrassa]] można wywnioskować, że każda funkcja ciągła <math>f:{ \mathbb R} \longrightarrowto {\mathbb R}</math> jest granicą punktową ciągu [[wielomian]]ów.

* Jeśli <math>f_n, g_n:{ \mathbb R} \longrightarrowto {\mathbb R}</math> oraz ciąg <math>(f_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji ''<math>f''</math>, a ciąg <math>(g_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji ''<math>g'',</math> oraz <math>\alpha, \beta \in {\mathbb R}</math>, to

:*:ciąg <math>(\alpha \cdot f_n + \beta \cdot g_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>\alpha \cdot f + \beta \cdot g</math>,

:*:ciąg <math>(f_n \cdot g_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f \cdot g</math>,

:*:jeśli dodatkowo <math>g_n(x) \neqne 0 \neqne g(x)</math> dla wszystkich <math>x \in {\mathbb R}</math>, to ciąg <math>\left(\frac{f_n}{ \over g_n}\right)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f \frac{f}{over g}</math>.

* Jeśli <math>f_n:{ \mathbb R} \longrightarrow{to \mathbb R}</math> (dla <math>n \in {\mathbb N}</math>) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji <math>f:{ \mathbb R} \longrightarrowto {\mathbb R}</math>, to ''<math>f''</math> jest [[Funkcjafunkcja mierzalna|funkcją mierzalną]] względem [[Przestrzeńprzestrzeń mierzalna|&sigma;-ciała]] zbiorów [[zbiór borelowski|borelowskich]]. (Zobacz więcej w sekcji o klasach Baire'a poniżej.)

* '''Twierdzenie [[René-Louis Baire]]|Baire'a]]''': Jeśli <math>X,Y</math> są przestrzeniami metrycznymi, <math>f_{n}f_n: X \longrightarrowto Y</math> (dla <math>n \in \mathbb{ N}</math>) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg <math>(f_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f: X \longrightarrowto Y</math>, to zbiór

:*:<math>\{x \in X:</math> funkcja ''f'' \mbox{ nie jest ciągła w punkcie <math>} x\ \}</math>

*:jest [[zbiór pierwszej kategorii|pierwszej kategorii]].

* Z '''twierdzenia [[Dimitri Jegorow|Dimitra Jegorowa]]''' wynika, że jeśli <math>f_n: [0,1] \longrightarrow{to \mathbb R}</math> są funkcjami mierzalnymi w seniesensie [[Miara Lebesgue'a|miary Lebesgue'a]] i ciąg <math>(f_n)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f: [0,1] \longrightarrowto {\mathbb R}</math>, to dla każdego dodatniego <math>\epsilonvarepsilon>0</math> można wybrać zbiór <math>E \subseteq [0,1]</math> taki, że <math>\lambda(E)>1-\epsilonvarepsilon</math> oraz ciąg <math>(f_n\upharpoonright E|_E)_{n \in {\mathbb N}}</math> jest [[zbieżność jednostajna|zbieżny jednostajnie]] do funkcji <math>f\upharpoonright E|_E</math>.

Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury ''porządnych'' funkcji pomiędzy [[przestrzeń polska|przestrzeniami polskimi]]. Można się umówić, że funkcje ciągłe są ''bardzo porządne'', ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej ''porządne'' itd. Tak zasugerowany kierunek badań ''porządnych'' funkcji z [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] <math>{\mathbb R}^n</math> w [[liczby rzeczywiste]] <math>{\mathbb R}</math> był zapoczątkowany przez [[Francja|francuskiego]] matematyka [[René-Louis Baire|René-Louisa Baire'a]] w [[1899]]<ref>Baire, R.: ''Sur les fonctions de variables réelles''. "Annali di Mat." (3) 3 (1899), s. 1-123.</ref>. Tematyka ta była rozwinięta przez [[Henri Lebesgue]]'a w [[1905]]<ref>Lebesgue, H.: ''Sur les fonctions représentables analytiquement''. "Journ. de Math." (6) 1 (1905), s. 139-216. </ref>. Polski matematyk [[Stefan Banach]] uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w [[1931]]<ref>Banach, S.: ''Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen''. "[[Fundamenta Mathematicae]]" 17 (1931), s. 283-295.</ref>.

Poniżej, ''<math>X'', i ''Y''</math> są przestrzeniami polskimi, z kolei <math>{\mathcal N}</math> jest [[Przestrzeń_Baire%27a#Szczeg.C3.B3lna_przestrze.C5.84_topologiczna|przestrzenią Baire'a]].

*Powiemy, że funkcja <math>f: X \longrightarrowto Y</math> jest <math>\Sigma^0_\xi</math>-mierzalna (dla [[zbiór przeliczalny|przeliczalnej]] [[liczba porządkowa|liczby porządkowej]] <math>\xi<\omega_1</math>) jeśli dla każdego zbioru [[zbiór otwarty|otwartego]] <math>U \subseteq Y</math> mamy, że <math>f^{-1}[(U]) \in \Sigma^0_\xi(X)</math>. (Definicja klas borelowskich <math>\Sigma^0_\xi</math> jest podana w artykule o [[Zbiór_borelowski#Hierarchia_zbior.C3.B3w_borelowskich_w_przestrzeniach_polskich|zbiorach borelowskich]].)

*Zauważmy że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje <math>\Sigma^0_1</math>-mierzalne. Nietrudno sprawdza się też, że <math>f: X \longrightarrowto Y</math> jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy ''<math>f''</math> jest <math>\Sigma^0_\xi</math>-mierzalna dla pewnego <math>\xi<\omega_1</math>.

*Można udowodnić, że funkcja <math>f:{ \mathcal N} \longrightarrowto Y</math> jest <math>\Sigma^0_2</math>-mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy ''<math>f''</math> jest granicą punktową funkcji ciągłych.

* Przez [[indukcja pozaskończona|indukcję]] po liczbach porządkowych <math>\xi<\omega_1</math> określamy kiedy funkcja <math>f: X \longrightarrowto Y</math> jest '''klasy Baire'a &xi;''' :

*::''<math>f''</math> jest klasy Baire'a 0, jeśli ''<math>f''</math> jest ciągła,

*::''<math>f''</math> jest klasy Baire'a 1, jeśli ''<math>f''</math> nie jest ciągła, ale jest <math>\Sigma^0_2</math>-mierzalna,

*::''<math>f''</math> jest klasy Baire'a &xi;, jeśli nie jest ona żadnej klasy &zeta; dla <math>\zeta<\xi</math>, ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji <math>(f_n)_{n \in {\mathbb N}}</math>, gdzie każda <math>f_n</math> jest klasy Baire'a <math>\zeta_n<\xi</math>.

*Okazuje się, że jeśli <math>f: X \longrightarrowto Y</math> jest klasy Baire'a &xi;, to jest ona <math>\Sigma^0_{\xi+1}</math>-mierzalna. I na odwrót, jeśli <math>f: X \longrightarrowto Y</math> jest <math>\Sigma^0_{\xi+1}</math>-mierzalna, to jest ona klasy Baire'a &zeta; dla pewnego <math>\zeta \leqle \xi</math>.

* [[zbieżność monotoniczna]].