Warstwa graniczna (mechanika płynów): Różnice pomiędzy wersjami

m
m (drobne techniczne)
m (WP:SK+Bn)
 
 
=== Równania Prandtla ===
Przyjmując oś <math>\; x \,</math> prostokątnego układu współrzędnych równoległą do sztywnej ścianki ciała stałego, składową <math>\; x</math>-ową prędkości <math>\; u \,</math> równoległą do ścianki i zgodną z kierunkiem przepływu zasadniczego, natomiast oś <math>\, y \,</math> układu prostokątnego i <math>\; y</math>-ową składową prędkości <math>\; v \,</math> prostopadłe do ścianki, równania Prandtla przyjmują postać:
: <math> \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \; = \; 0 \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\quad (1) </math>
 
: <math> \varrho \left( u \, \frac{\partial u}{\partial x} + v \, \frac{\partial u}{\partial y} \right) \; = \; - \, \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \qquad (2) </math>
 
gdzie <math>\; p \,</math> jest ciśnieniem płynu, <math>\; \varrho \,</math> jest jego gęstością, a <math>\; \mu \,</math> - jego lepkością.
 
Ponadto, jeśli płyn jest nieściśliwy, wówczas:
: <math> \frac{\partial p}{\partial y} \; = \; 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad (3)</math>
 
Ostatnie z powyższych równań oznacza, że ciśnienie płynu przyjmować można jako stałe w poprzek warstwy granicznej. Ponieważ ciśnienie nie zmienia się w kierunku prostopadłym do warstwy granicznej, jest ono zatem równe ciśnieniu w otoczeniu warstwy granicznej. Wyrażając ciśnienie w rdzeniu przy pomocy prędkości napływającego strumienia płynu <math>\; U \,</math> w oparciu o [[równanie Bernoulliego]] obowiązujące dla płynów idealnych, otrzymamy ostatecznie:
: <math> u \, \frac{\partial u}{\partial x} + v \, \frac{\partial u}{\partial y} \; = \; U \, \frac{d U}{d x} + \frac{\mu}{\varrho} \, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \qquad \qquad (4) </math>
 
Układ równań różniczkowych cząstkowych (1), (4) stanowi ostateczną postać równań Prandtla dla stacjonarnej, laminarnej warstwy granicznej.
 
== Zastosowania teorii warstwy granicznej ==
Zjawiska zachodzące w warstwie granicznej wpływają decydująco na wielkość hydrodynamicznego oporu ruchu zanurzonych brył (np. karoserii samochodowych, okrętów podwodnych, etc.), a także na powstawanie siły nośnej na skrzydłach ptaków oraz samolotów. Dlatego też analiza zjawisk zachodzących w warstwie granicznej posiada fundamentalne znaczenie dla współczesnej techniki.
 
Zaproponowane przez Prandtla (1904) rozróżnienie przepływu [[płyn]]u na dwa regiony – cienką warstwę tuż przy ścianie (np. rury) oraz pozostałą część objętości płynu (rdzeń) uprościło matematyczne rozważania nad przepływami oraz ułatwiło prowadzenie obliczeń dla oddziaływań płynu na ciała w nim zanurzone. Charakter przepływu w tej warstwie może być laminarny lub burzliwy (w tym przypadku rozróżnia się dwie podwarstwy: burzliwą oraz lepką). Przykładowa grubość warstewki przyściennej może wynosić, dla w pełni rozwiniętego przepływu burzliwego wody w rurze, od setnych części do kilku milimetrów. Grubość tej warstwy spada wraz ze wzrostem liczby Re.
 
== Zobacz też ==
* [[Warstwaplanetarna dobrzewarstwa wymieszanagraniczna]]
* [[Planetarna warstwa granicznadobrze wymieszana]]
 
== Bibliografia ==