Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne, drobne uzupełnienia |
|||
Linia 5:
Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego
: <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},</math>
nazywają się [[liczby harmoniczne|liczbami harmonicznymi]].
Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest [[średnia harmoniczna|średnią harmoniczną]] dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących<ref name=ES />:
: <math>\operatorname{H}\left(\frac{1}{n-1},\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2}{\left(\frac{1}{n-1}\right)^{-1}+\left(\frac{1}{n-1}\right)^{-1}} = \frac{2}{(n-1)+(n+1)}= \frac{1}{n}.</math>
Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.
Linia 19 ⟶ 21:
Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.
: <math>1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots+ \underbrace{\left(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\dots+\frac{1}{2^{n+1}}\right)}_{2^n\ \text{składników}} + \dots
▲: <math>1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots+ \underbrace{\left(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\dots+\frac{1}{2^{n+1}}\right)}_{2^n\ \text{składników}} + \dots </math>
Ponieważ
: <math>\frac{1}{2}
: <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ >\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}
: <math>\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\ >\ \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}
i ogólnie
: <math>\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\dots+\frac{1}{2^{n+1}}\ >\
więc
: <math>H_{2^n}\geqslant 1+\tfrac{1}{2}n.</math>
Oznacza to, że ciąg sum częściowych <math>H_i</math> jest rozbieżny do <math>\infty</math>
=== Dowód Pietra Mengolego ===
Linia 36 ⟶ 41:
Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:
: <math>1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\right)+\dots+\left(\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}\right)+\dots</math>
Ponieważ
: <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > 1</math>
: <math>\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} > \frac{1}{2}</math>
: <math>\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10} > \frac{1}{3}</math>
i ogólnie
: <math>\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1} =\frac{27k^2-1}{3k(9k^2-1)}
=\frac{1}{k}+\frac{2}{3k(9k^2-1)}>\frac{1}{k},</math>
więc
: <math>H_{3k+1}>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{k}=1+H_k,</math>
co w efekcie daje
: <math>H_{3k+1}-H_k>1.</math>
Oznacza to, że ciąg sum częściowych <math>H_i</math> nie spełnia [[Ciąg Cauchy’ego|warunku Cauchy’ego]]; nie jest więc zbieżny.
Linia 68 ⟶ 78:
== Ciąg liczb harmonicznych ==
Ciąg [[liczby harmoniczne|liczb harmonicznych]] <math>
▲Ciąg [[liczby harmoniczne|liczb harmonicznych]] <math> (H_n) </math> jest rozbieżny do <math>\infty</math>, ale rośnie powoli a jest wzrost można opisać zależnością:
: <math>\lim_{n \to \infty} (\ H_n - \ln(n)\ ) = \gamma,</math>
Linia 78 ⟶ 87:
'''Uogólniony szereg harmoniczny''' postaci
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{an+b}</math>
jest rozbieżny przy dowolnych wartościach <math>a \ne 0, b\in \mathbb{R}, an+b \ne 0</math>▼
▲jest rozbieżny przy dowolnych wartościach <math>a \ne 0, b\in \mathbb{R}, an+b \ne 0.</math>
[[Leonhard Euler|Euler]] udowodnił rozbieżność szeregu ▼
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n},</math> ▼
gdzie <math>p_n</math> jest <math>n-</math>tą [[liczba pierwsza|liczbą pierwszą]].▼
== Szeregi harmoniczne wyższych rzędów ==
'''Szeregiem harmonicznym rzędu α''' nazywa się szereg postaci:
: <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}=1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}+\dots</math><ref name=ES />
Szereg ten jest [[zbieżność|zbieżny]] dla <math>\alpha > 1</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=227}} i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by <math>\alpha</math> przyjmowało wartości [[liczby zespolone|zespolone]] i każdej liczbie <math>\alpha,</math> dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji '''[[Funkcja dzeta Riemanna|dzeta]]''' <math>\zeta</math> [[Bernhard Riemann|Riemanna]]:
| |||